数字信号处理西安邮电大学第二章 (2)

第2章 时域离散信号和系统的频域分析

第2章 时域离散信号和系统的频域分析2.1 引言 2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质 2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换 表示式 2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟 信号傅里叶变换之间的关系 2.5 序列的Z变换 2.6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性

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2.1 引言 时 模拟领 域 域 频域 微分方程 拉普拉斯变换 xa (t ) (LT)、傅里叶变 换(FT) 差分方程 Z变换(ZT)、序 列的傅里叶变换 (DTFT)

离散领 x(n) 域

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2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质

2.2.1 序列傅里叶变换的定义(DTFT)X (e ) j n

x ( n )e

j n

为序列x(n)的傅里叶变换， 可以用FT(Fourier Transform)缩写字母表示。 FT成立的充分必要条件是 序列x(n)满足绝对可和的条件， 即满足下式：

n

| x(n) |

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一对 傅里叶变换公式为： j X (e ) x(n)e j n n x(n) 1 X (e j )e j n d 2

连续时间信号f(t)的傅里叶变换(CTFT)为：

F ( j ) f (t )e j t dt 1 f (t ) F ( j )e j t d 2

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X (e j ) 是关于

的复函数。

X (e j ) X (e j ) e j ( ) X R (e j ) jX I (e j ) X (e j ) 幅度特性

( )---相位特性

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例 2.2.1 设x(n)=RN(n), 求x(n)的FT解：

X (e )

j

n

RN (n)e

j n

e j nn 0

N 1

1 e-j N e-j N /2 (e j N /2 e j N /2 ) j /2 j /2 j /2 j 1 e e (e e ) j ( N 1) /2 sin( N / 2) e (2.2.5) sin( / 2)设N=4, 幅度与相位随ω变化曲线如图2.2.1所示。

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图 2.2.1 R4(n)的幅度与相位曲线

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2.2.2 序列傅里叶变换的性质 1. FT的周期性 在定义(2.2.1)式中，en取整数， 因此下式 X (e j ) x(n) j ( 2 M ) n , M为整数 n 成立因此序列的傅里叶变换是频率ω的周期函数， 周期是2π。

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数字频率ω与模拟角频率 (1)相同点：都是连续变量；

的比较：

(2)不同点： 单位是弧度每秒(rad/s), ω单位是弧度 (rad),二者成线性关系： T

模拟角频率 的大小反映了信号频率的高低， 值越大，频 率越高，信号变化

越快。而数字频率的高频出现在 的奇数倍处，低频出现在

的偶数倍处。

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例：

x(n) cos( n)

当 w = 0 时，

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当w=pi/8时，n=0:49; yn=cos(pi*n/8); stem(yn,'.')

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当w=pi/4时，

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当w=pi/2时，

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当w=pi时，

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当w=3×pi/2时，

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当w=7×pi/4时，

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当w=15×pi/8时，

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当w=2×pi时，

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2. 线性设

X 1 (e j ) FT [ x1 (n)], X 2 (e j ) FT [ x2 (n)], FT [ax1 (n) bx2 (n)] aX 1 (e j ) bX 2 (e j )

那么

(2.2.7)

式中a, b为常数

3. 时移与频移设X(e jω)=FT[x(n)], 那么

FT [ x( n n0 )] e FT [ej 0 n

j n0

X (e ) )

j

(2.2.8) (2.2.9)

x(n)] X (e

j ( 0