2.4等比数列第一课时

等比数列(一)

【问题导学】

1 1 1 ① 1,2,4,8,…;② 1、 、 、 、 2 4 8 2 3 、 20、 20 、 20 ③ 1它们的共同特征是 ： 从第2项起，每一项与其前一 项的比是同一个常数. :从第 2、等比数列的定义 :: 2项起，每一项与其前一 项的比是同一个常数的数列，称为等比数列，

1、课本提到的以下几个例子：

用递推公式表示等比数列：

an 1 q an

a、G、b 3、若在 a 与 插入一个数 G ,使得 等比中项 成等比数列，则称 G 为 a 与 b 的__________.且_________. G ab

4、能类比推导等差数列通项公式的累加法，推 导出首项为 a1,公比为 q 的等比数列 a n 的通 项公式吗？

等比数列的通项公式

a2 a1q 2 a3 a1q

a4 a1q……

3

an a1q

n 1

——不完全归纳法

以上n 1个式子相乘而得

a2 q a3 a3 q a2 a4 q …… a3 an q an 1

an n 1 q an a1

——累乘法

a1q

n 1

预习自测：1、下列数列是否为等比数列？若是，请求出其公比及通项公式：1 3 1 9

①3,6,12, ;② 1, , , ;③ 1,-2,4,-8, ;④1,1,1, ; ⑤ a , a , a , 。

① an 3 2

n 1

1 n 1 ② an ( ) 3 ③ an ( 2)n 1④

⑤ 当 a 0 时，是等比 数列，通项公式为： 当 a 0 时，不是等比 数列。

an a

an 1

a {an } 2、满足“a1 1, an n 1 ”的数列 1 n 1 2 ______ an ( ) 2 数列，通项公式为_________. 3、2与4的等比中项为___________. 2 24、课本52页第1题。

等比 为

例1,等比数列 {an ] 的第2项与第4项分别是4和 18,求 a1 及 q 通项公式。

解：由题意可知：a2 8, a4 18 由等比数列 n 1 通项公式 an a1q 得

a1 q 8 3 9 2 q q 3 2 4 a1q 18 16 16 3 n 1 3 , an ( ) 当 q 时， a1 3 3 2 2 3 16 16 3 n 1 q 当 时，a1 , an ( ) 2 3 3 2

10 变式1:在等比数列 {an } 中，a3 1, a2 a4 3 求通项公式。 解：由题意得

a1q 2 1 10 3 a1q a1q 3 2

a1q a1q 3 10 2 a1q 3

1 q 2 10 q 3

1 q 3或q 3q 10q 3 0 3 1 1 n 1 n 3 q 3 当 时， a1 , an 3 3 9 9 当 q 1 时，a1 9, an 9 ( 1 ) n 1 33 n 3 3

例2: 某种放射性物质不断变化为其他物质，每 过1年剩留的这种物质是原来的80%,则这种物质 的半衰期为多少年(半衰期指放射性物质质量衰变 lg 2 0.3 为原来的一半所需要的时间。附： 解：设这种物质的原始质量为1,经过n年后，剩 余量为 an ,由题意可以知道，数列{an } 为一等比 a1 0.8, q 0.8 ,则 数列。其中，

设 an 0.8n 0.5, 两边取对数得

an 0.8n

n lg 0.8 lg 0.5

lg 0.5

lg 2 0.3 n 3 lg 0.8 lg 8 1 0.9 1

答：这种物质的半衰期大约为3年。P52 2 变式2、《必修5》

课堂小结：

an 1 q 1、理解等比数列的概念： an3、熟记等比数列的通项公式：an 4、等比中项： G ab

;

2、了解等差数的通项公式的推导方法：叠乘法

a1q

n 1

【课后作业】

1 9 2 1,等比数列 {an } 中,首项为 ，末项为 ,公比为 ， 3 8 3 求n解：由等比数列通项公式 an a1q 得n 1

1 9 2 n 1 ( ) 3 8 3解得n=3. 2,在等比数列 {an } 中。 (1), a4 27, q 3, 求a7

解：a7 a4q 27 3 7293 3

(2), a2 18, a4 8, 求a1及q. 2 2 当 q 时，a1 27 当 q 时， a1 27 3 3 (3), a5 4, a7 6, 求a93 a7 3 2 2 a9 a7 q 6 9 解： q 2 a5 2

(4), a5 a1 15, a4 a2 6, 求a3a5 a1 a1q a1 q 1 (q 1)(q 1) 解： 3 3 a4 a2 a1q a1q q q q(q 2 1)4 4 2 2

1 解得 q 2或q 2

q 2 1 15 q 6

又 a5 a1 5 0 q 1,即q 2 a4 a2 6 8a1 2a1 6

a1 1 2 a3 a1q 4