§2.4.3.直线与抛物线的位置关系(一)

§2.4.3.直线与抛物线的位置关系（一）

【学习目标】

通过本节的学习,能运用性质解决直线与抛物线位置有关的简单问题,进一步体会数形结合的思想.

【自主学习】

1、直线与抛物线的位置关系

设直线l:y kx b,抛物线y2 2px(p 0),直线与抛物线的交点的个数等价于方程组

y kx b解的个数,也等价于方程kx2 2px 2bp 0解的个数. 2 y 2px

① 当k 0时,

当 0时,直线和抛物线____,有____公共点;

当 0时,直线和抛物线____,有____公共点;

当 0时,直线和抛物线____,有____ 公共点．

② 当k 0,即直线方程为y y0时，则直线y b与抛物线y2 2px(p 0)相交,有一个

公共点．

③ 特别地,当直线的斜率不存在时, 即直线方程为x m，则

当m 0, l与抛物线相交,有两个公共点;

当m 0时,与抛物线相切,有一个公共点；

当m 0时,与抛物线相离,无公共点.

注: 直线与抛物线只有一个公共点时，它们可能相切，也可能相交．

【典型例题】

例1 已知抛物线的方程是y 4x，直线l过定点P( 2,1)，斜率是k.k 为何值时，2

直线l与抛物线y 4x：只有一个公共点；两个公共点；没有公共点？ 2

例2斜率为1的直线经过抛物线y2 4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长．

解法一：解方程组，得交点的坐标，利用两点间距离公式解之.

思路二：同思路一相同，但不解方程组，利用根与系数的关系和弦长公式解之.

思路三：利用根与系数关系及抛物线的定义来解之．

【课堂检测】

1.过点(0，1)且与抛物线y x只有一个公共点的直线有 （ )

(A)一条 (B)两条 (C)三条 (D)无数条

2．过抛物线y 4x的焦点F作倾斜角为

( ) (A)42 (B)4 (C)8 (D)2

3．过定点P(0,1)且与抛物线y 2x只有一个公共点的直线方程___________.

4. 若直线 x y 2与抛物线 y 4x 交于A 、B 两点，则线段AB 的中点坐标是______． 22223 的直线交抛物线于A、B两点，则AB的长是 4