高中数学解题方法谈：数列求和方法盘点

数列求和方法盘点

等差数列、等比数列的求和是高考常考的内容之一，一般数列求和的基本思想是将其通项变形，化归为等差数列或等比数列的求和问题，或利用代数式的对称性，采用消元等方法来求和.

下面我们结合具体实例来研究求和的方法.

一、直接求和法（或公式法）

将数列转化为等差或等比数列，直接运用等差或等比数列的前n项和公式求得.

例1求 1 2 3 4 5 6 99 100．

2222222222222222解：原式 (2 1) (4 3) (6 5) (100 99) 3 7 11 199．由等差数列求和公式，得原式 50 (3 199) 5050．2

二、倒序相加法

此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和.

122232102

例2求2 22 22 22的和．21 102 93 810 1

分析：由于数列的第k项与倒数第k项的和为常数1，故采用倒序相加法求和．122232102

解：设S 2 221 10222 9232 8210 1

102928212

则S 2 22 22 22．210 12 93 810 1

两式相加，得2S 1 1 1 10， S 5．

小结：对某些具有对称性的数列，可运用此法.

三、裂项相消法

如果一个数列的每一项都能化为两项之差，而前一项的减数恰与后一项的被减数相同，一减一加，中间项全部相消为零，那么原数列的前n项之和等于第一项的被减数与最末项的减数之差.多用于分母为等差数列的相邻k项之积，且分子为常数的分式型数列的求和.

例31n(n 1)(2n 1)，6

3572n 1 求 (n N)的和．22222222211 21 2 31 2 n已知1 2 n 222

分析：首先将数列的通项公式化简，然后注意到它可写成两项的差，在求和的过程中，中间的项相互抵消了，从而可求出原数列的前n项和.解： an 2n 12n 16， 12 22 n2n(n 1)(2n 1)n(n 1)

6

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111 Sn 6 n(n 1) 1 22 3

1 11 11 6 1 nn 1 2 23

1 6 1 n 1

ln .n 1

小结：如果数列{an}的通项公式很容易表示成另一个数列{bn}的相邻两项的差，即an bn 1 bn，则有Sn bn 1 b1.这种方法就称为裂项相消求和法.

四、错位相减法

源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如{anbn}的数列，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列，均可用此法.

例4求x 3x 5x (2n 1)x的和．23n

x2x2(1 xn 1)(2n 1)xn 1

解：当x 1时，Sn ； 1 x(1 x)21 x

当x 1时，Sn n．

小结：错位相减法的步骤是：①在等式两边同时乘以等比数列{bn}的公比；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n项和公式求和.

五、分组求和法

若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成几部分来求.

例5求数列24621

4111 ，2n n 1， 的前n项和Sn．8162

1 1 {2n}，而数列是一个等差数列，数列 n 1 是一个等2n 1 2 分析：此数列的通项公式是an 2n

比数列，故采用分组求和法求解．解：Sn (2 4 6 2n) 1 11 111 n(n 1) ．234n 1 n 12 22 222

小结：在求和时，一定要认真观察数列的通项公式，如果它能拆分成几项的和，而这些项分别构成等差数列或等比数列，那么我们就用此方法求和.

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