数形结合解决不等式有关问题1

数形结合解与不等式有关的问题

主讲教师：陈文胜

教学目标：1.知识教学点 掌握用数形结合的思想方法解不等式及求参数的取值范围使不等式 (能、恰、恒)成立. 2.能力训练点

在用数形结合的思想方法解题过程中，通过对函数、解析几何、向量、导数等各部分知识的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而 提高分析问题解决题的能力. 3.学科渗透点 在解决问题的过程中，形成和发展理性思维，提高学生数学素质及 创新意识.

(一)数形结合解不等式

例1.(2003全国 理14)使log2(–x)<x+1成立的x的取值范围

是

. g(x)=x+1

解：令f(x)= log2(–x),g(x)=x+1, f(x)= log2(–x)

作出两函数的图象，由图象可知， x的取值范围是(–1,0) .

例2:解不等式： 9 x 2 6x x 2 3解：原不等式等价于 9 x 2 3 6x x 2,

令y1 9 x 2 ,y 2 3 6 x x 2 ,变形得x2+ y12=9(y1≥0),

(x–3)2+(y2–3)2=9(y2≤3),作图， 由图形可知，

不等式的解集为{x| 0<x<3}.

例3. (2009江西 理15)若不等式 9 x2 k ( x 2) 2 的 解集为区间[ a, b],且 b–a=2,则 k=解：设 y1

.

9 x 2 ,y2=k( x+2) – 2 ,

作出两函数的图象，

由图象可知，不等式的解集为区间[xC,xB],∵B(3,0) 且b–a=2,∴xC=1,∴A( 1, 2 )代入 y2=k(x+2)– 2 , 解得 k= 2 .M ( 2, 2 )

A

B C

(二)数形结合解含参数不等式成立问题

例4.已知函数f(x)=x2+2x+1,若存在实数t,当x∈[1,m]时，f(x+t)≤x恒成立，则实数m的最大值是( ) A.2 B.3 C.4 D.5f(x)=(x–2)2 y=x

解： f(x)=(x+1)2,令y=x, f(x)=(x+1)2 依题意，则在区间[1,m] 上f(x+t)的图象在直线y=x 下方. 作图， 由图形可知，当f(x+t)=

(x–2)2时，实数m的值最大，解方程(x–2)2=x,得x=1,4 . 即m的最大值4,故选C.

例5.已知在关于x的不等式loga(x2–4)>loga(6x–13a)(0<a<1)的解集中，有且只有两个整数解，求a的取值范围.解：∵0<a<1, x 2 4 0 ∴ 原不等式 x 2 4 6 x 13a x 2或x 2 2 ( x 3) 13 13a

设y1=(x–3)2,y2=13–13a, y2 = 13–13a 作出函数y1在区间(–∞,–2) ∪(2,+∞)的图象， 由图象可知，1<13–13a≤4,

9 12 a . 解得 13 13

思考题.(2007 全国Ⅰ理20)设函数f(x)=ex–e–x. (Ⅰ)求证：f(x)的导数f (x)≥2; (Ⅱ) 若对所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范围.(Ⅱ)解法一：令g(x)=f(x)–ax, 则g (x)=f (x)–a=ex+e–x–a, (ⅰ)若a≤2,当x>0时，g (x)=ex+e–x–a>2–a≥0, 故g(x)在(0,+∞)上为增函数， 所以，x≥0时，g(x)≥g(0),即f(x)≥ax.a a2 4 (ⅱ)若a>2,方程g (x)=0的

正根为 x1 ln , 2

此时，若x∈(0,x1),则g (x)<0,故g(x)在该区间为减函数. 所以，x∈(0,x1)时，g(x)<g(0)=0,即f(x)<ax,与题设f(x)≥ax相矛盾. 综上，满足条件的a的取值范围是(–∞,2].

思考题.(2007 全国Ⅰ理20)设函数f(x)=ex–e–x. (Ⅰ)求证：f(x)的导数f (x)≥2; (Ⅱ) 若对所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范围.(Ⅱ)解法二：利用导数研究f(x)的性状， ∵f (x)=ex+e–x>0,∴函数f(x)当x≥0时单调递增， 又∵函数f (x)当x≥0时也单调递增， ∴函数f(x)是下凸的. 作出函数f(x)的图象， 令y=ax,其图象是过原点的直线， 若对所有x≥0都有f(x)≥ax,

f(x)= ex–e–x

y=ax

则直线y=ax在f(x)的图象的下方.∴只要直线y=ax在f(x)在原点处的切线下方即可. ∵f(x)在原点处的切线的斜率f (0)=2,

∴a≤2.

小结：1. 抽象问题 直观化、生动化

有助于把握数学问题的本质 2. 复杂问题 简单化

避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程 3. 在解选择题、填空题中更显其优越 4. 注意问题： 准确把握代数式的几何意义，实现“数”向“形”的转 化

课后练习：1.设函数 f(x) =sinx,g(x) = 9( ) 9( ) ,则使 g( x)≥f(x)的 x 取值范围是( ).2

x

A.[ 0, ]

3 B. [ , ] 2 2

3 4 2 C. [ , ] 3 3

x

5 D. [ , ] 6 6. )

2.(2008 四川 理 16)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S4≥10,S5≤15,则 a4 的最大值为 3. (2009天津理10)设0<b<1+a,若关于x 的不等式(x–b)2>( ax) 2的解集中的整数恰有 3 个，则( A.–1<a<0 B.0<a<1 C.1<a<3 D.3<a<6

4.已知函数 f( x)=x2+ax+3,a∈R,当 x∈[–2,2]时，f( x)≥a 恒成立，求 a 的取值范围.

5.是否存在实数 a,使得关于 x 的不等式 ln( 1+x)<ax 在(0,+∞)上恒成立？若存在，求出 a 的取值范围； 若不存在，说明理由. 6.思考：数形结合解题应注意哪些问题？