2-2调和函数与解析函数

§2解析函数与调和函数的关系2.2.1 调和函数的定义 2.2.2 解析函数与调和函数的关系 2.2.3 由调和函数构造解析函数 2.2.4 小结与思考

定义2.3 如果二元实函数 如果二元实函数H(x,y)在区域 内有 在区域D内有 定义 在区域 二阶连续偏导数,且满足拉普拉斯方程 二阶连续偏导数 且满足拉普拉斯方程，即： 2 且满足拉普拉斯方程， 2 H H + 2 =0 2 x y

2.2.1 调和函数的概念

则称H(x,y)为区域 内的调和函数 为区域D内的 则称 为区域 内的调和函数 2 2 注： ≡ + 称为Laplace算子 称为 算子 2 2 x y。

例如： 例如： f(x,y)=x2-2xy2 不是一个调和函数 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际 问题中有很重要的应用. 问题中有很重要的应用2

2.2.2解析函数与调和函数的关系 解析函数与调和函数的关系 在区域D内解析 则由C.-R.条件 设f(z)=u+iv在区域 内解析 则由 在区域 内解析,则由 条件 u v u v , , = = x y y x

得

2v 2v 因 与 在D内连续，它们必定相等，故在D内有 x y y x 2 u 2u + = 0 2 2 x y 2v 2v + = 0 同例,在 内有 同例 在D内有 2 2 x y

2u 2v 2u 2v , , = = 2 2 x x y y y x

都是D内的调和函数 即u及v都是 内的调和函数 及 都是3

定理：设函数 定理：设函数f(z)=u(x,y)+v(x,y)∈A(D) ∈ u(x,y),v(x,y)都是 内的调和函数 都是D内的调和函数 都是 / 例如:设 都是z平面上的 例如 设 f(z)=x-iy,则u(x,y),v(x,y)都是 平面上的 则 都是 调和函数,但 调和函数 但f(z)=x-iy在z平面上处处不解析 在 平面上处处不解析 原因: 内不满足C-R条件 原因 u(x,y),v(x,y)在D内不满足 在 内不满足 条件 定义2.4 u(x,y),v(x,y)是D内的调和函数，且满足 定义 是 内的调和函数， C.-R.条件： u v u 条件： 条件 v , = = x y y x

v称为 在区域 内的共轭调和函数 称为u在区域 内的共轭调和函数 称为 在区域D内的共轭调和函数.4

定理2.4 在区域D内 定理 若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域 内 在区域 解析的充要条件是：在区域D内 的虚部 解析的充要条件是：在区域 内f(z)的虚部 v(x,y)必为 必为u(x,y)的共轭调和函数 的共轭调和函数. 必为 的共轭调和函数 根据这个定理， 根据这个定理，便可利用一个调合函数 和它的共轭调和函数作出一个解析函数。 和它的共轭调和函数作出一个解析函数。 由于共轭调和函数的这种关系,如果知 由于共轭调和函数的这种关系 如果知 道其中的一个,则可根据 道其中的一个 则可根据C-R条件求出另一 条件求出另一 则可根据 个来。 个来。5

验证u(x,y)=x3—3xy2是z平面上的调和函数， 平面上的调和函数， 例2.6 验证 平面上的

调和函数 并求以u(x,y)为实部的解析函数 为实部的解析函数f(z),使合 使合f(0)=i. 并求以 为实部的解析函数 使合 解： u = 3x2 3 y 2 x2 2

u = 6 xy y2 2

u u u u = 6x = 2 2 + 2 = 0 6x 2 x y x y要求f(z),需先求 一般可用以下方法求v(x,y) 要求 ，需先求v(x,y),一般可用以下方法求 一般可用以下方法求

v u 偏 积 分 法 .由 = = 3 x 2 3 y 2得 , y x v=

3 x 2 3 y 2 )dy = 3 x 2 y y 3 + ( x ) ∫(6

v u = 6 xy + ′ ( x ) = = 6 xy 及 x y所 以 ′ ( x ) = 0, ( x ) = C

v ( x, y ) = 3 x 2 y y 3 + C因而得到解析函数 f ( z ) = x 3 3 xy 2 + i ( 3 x 2 y y 3 + C ) 因 为 f (0) = i , 故 C = 1, 所 以 f ( z ) = x 3 3 xy 2 + i ( 3 x 2 y y 3 )7

例2.7 已知 v ( x , y ) = e x ( y cos y + x sin y ) + x + y 为调

和函数 , 求一解析函数 f ( z ) = u + iv , 使 f (0) = 0.解

v = e x ( y cos y + x sin y + sin y ) + 1, x v x = e (cos y y sin y + x cos y ) + 1, y

u v 由 = = e x (cos y y sin y + x cos y ) + 1, x y

得 u = ∫ [e (cos y y sin y + x cos y ) + 1]dxx8

u = e x ( x cos y y sin y ) + x + g( y ), v u 由 = ,得 x y e x ( y cos y + x sin y + sin y ) + 1 = e x ( x sin y + y cos y + sin y ) g′( y ),故 g( y ) = y + c ,

于是 u = e ( x cos y y sin y ) + x y + c ,x

利用曲线积分求共轭调和函数的方法. 利用曲线积分求共轭调和函数的方法我们从C R条件知道,函数u决定了函数v的全微分,即 v v u u dv= dx + dy = dx + dy x y y x 当D为单连通区域时,上式右端的积分与路径无关, 而v即可表示为 :

u u v ( x, y ) = ∫ dx + dy + C ( x0 , y0 ) y x( x, y )

其中( x0 , y0 ) 为D内一定点, C为任意实常数.10

例2.8求解析函数f (z )=u +iv,u = x 2 y 2 + xy, f (i ) = 1 + i.解:容易验证是u全平面的调和函数。利用C-R条件， 先求出v的两个偏导数。 v u v u = = 2 y x, = = 2x + y x y y x( x, y ) ( 0,0 )

则v( x, y ) = ∫0

( 2 y x ) dx + ( 2 x + y ) dy + Cy 0

= ∫ ( x ) dx + ∫ ( 2 x + y ) dy + Cx

1 2 1 2 = x + 2 xy + y + C 2 211

2.2.4小结与思考本节我们学习了调和函数的概念、 本节我们学习了调和函数的概念、解析函数 与调和函数的关系以及共轭调和函数的概念. 与调和函数的关系以及共轭调和函数的概念 应注意的是 1. 任意两个调和函数u与v所构成的 注意的是: 任意两个调和函数 与 所构成的 的是 函数u+iv不一定是解析函数 不一定是解析函数. 函数 不一定是解析函数 2. 满足柯西 黎曼方程 x= vy, vx= –uy,的v称为 满足柯西—黎曼方程 黎曼方程u 称为u 称为 的共轭调和函数, 与 注意的是地位不能颠倒 注意的是地位

不能颠倒. 的共轭调和函数 u与v注意的是地位不能颠倒放映结束， Esc退出. 放映结束，按Esc退出. 退出12