考研数学解题中的21个思维定势

考研数学解题中的21个思维定势

第一部分 《高数解题的四种思维定势》

1.在题设条件中给出一个函数f（x）二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f（x）在指定点展成泰勒公式再说。

2.在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。

3.在题设条件中函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且f（a）=0或f（b）=0或f（a）=f（b）=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。

4.对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f（u）再说。

第二部分 《线性代数解题的八种思维定势》

1.题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开定理以及AA*=A*A=|A|E。

2.若涉及到A、B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。

3.若题设n阶方阵A满足f（A）=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE再说。

4.若要证明一组向量a1，a2，…，as线性无关，先考虑用定义再说。

5.若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。

6.若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。

7.若已知A的特征向量ζ0，则先用定义Aζ0=λ0ζ0处理一下再说。

8.若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。

第三部分《概率与数理统计解题的九种思维定势》

1.如果要求的是若干事件中“至少”有一个发生的概率，则马上联想到概率加法公式；当事件组相互独立时，用对立事件的概率公式。

2.若给出的试验可分解成（0－1）的n重独立重复试验，则马上联想到Bernoulli试验，及其概率计算公式。

3.若某事件是伴随着一个完备事件组的发生而发生，则马上联想到该事件的发生概率是用全概率公式计算。关键：寻找完备事件组。

4.若题设中给出随机变量X ~ N 则马上联想到标准化X ~ N（0，1）来处理有关问题。

5.求二维随机变量（X，Y）的边缘分布密度的问题，应该马上联想到先画出使联合分布密度的区域，然后定出X的变化区间，再在该区间内画一条//y轴的直线，先与区域边界相交的为y的下限，后者为上限，而Y的求法类似。

6.欲求二维随机变量（X，Y）满足条件Y≥g（X）或（Y≤g（X））的概率，应该马上联想到二重积分的计算，其积分域D是由联合密度的平面区域及满足Y≥g（X）或（Y≤g（X））的区域的公共部分。

7.涉及n次试验某事件发生的次数X的数字特征的问题，马上要联想到对X作（0－1）分解。

8.凡求解各概率分布已知的若干个独立随机变量组成的系统满足某种关系的概率（或已知概率求随机变量个数）的问题，马上联想到用中心极限定理处理。

9.若为总体X的一组简单随机样本，则凡是涉及到统计量的分布问题，一般联想到用分布，t分布和F分布的定义进行讨论。

泰勒公式在求极限中的应用

要点 ：牢记下列几个用高阶无穷小表示余项的常用函数的泰勒公式，理解其中余项的作用并灵活运用。

x2x3xn

e 1 x (xn) 2!3!n!x

x3x5( 1)n

2n 1sinx x x (x2n)3!5!(2n 1)!

x2x4( 1)n

2ncosx 1 x (x2n 1) 2!4!(2n)!

nx2x3

n 1xln(1 x) x ( 1) (xn) 23n

(1 x) 1 x ( 1)

2!

x2

2x 2 ( 1) ( n 1)nx (xn) n!其中 (xn)是当x 0时比xn高阶的无穷小量。 例1. lim

例cosx ex 0x4 （注：此题需要用4次罗必塔法则方可求解，且较繁琐） 2.（2006.三、四）试确定常数A,B,C的值，使得ex(1 Bx Cx2) 1 Ax (x3)，其中 (x3)是当x 0时比x3高阶的无穷小。

（方法1：连续运用罗必塔法则，并根据极限类型判断各系数应满足的关系式。此方法计算量大，较繁琐；方法2： 写出 (x3)的极限表达式，并将ex用三阶泰勒展开式替代。）

例3. 当x 0时，把无穷小量

esinx 12 ln x

1 x x arctanx

按从低阶到高阶的正确排列顺序是（ ）。

A. , , B. , , C. , , D. , ,

（方法1：利用泰勒展开式；方法2：利用k阶无穷小定义。）

与拉格朗日中值定理有关的一类证明题

设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0) 0,f(1) 1，试分别证明

（1）存在(0,1)内两个不同的 , ，使 f ( ) f ( ) 2

11 2 （2）存在(0,1)内两个不同的 , ，使 f ( )f ( )

要点：在(0,1)内插入合适的分点c并分别在[0,c]及[c,1]上应用拉格朗日中值定理。关键是寻找合适的分点c。2012【考研数学】重点

与常见题型分析

近年来考研数学试题难度比较大，平均分比较低，而高等数学又是考研数学的重中之重，如何备考高等数学已经成为广大考生普遍关心的重要问题，要特别注意

以下三个方面。

第一，按照大纲对数学基本概念、基本方法、基本定理准确把握(也即三基的重要性务必引起重视)。数学是一门逻辑学科，靠侥幸押题是行不通的。只有对基本概念有深入理解，对基本定理和公式牢牢记住，才能找到解题的突破口和切入点。分析近几年考生的数学答卷可以发现，考生失分的一个重要原因就是对基本概念、定理理解不准确，数学中最基本的方法掌握不好，给解题带来思维上

的困难。

第二，要加强解综合性试题和应用题能力的训练，力求在解题思路上有所突破。在解综合题时，迅速地找到解题的切入点是关键一步，为此需要熟悉规范的解题思路，考生应能够看出面前的题目与他曾经见到过的题目的内在联系。为此必须在复习备考时对所学知识进行重组，搞清有关知识的纵向与横向联系，转化为自己真正掌握的东西。解应用题的一般步骤都是认真理解题意，建立相关数学模型，如微分方程、函数关系、条件极值等，将其化为某数学问题求解。建立数

学模型时，一般要用到几何知识、物理力学知识和经济学术语等。

第三，重视历年试题的强化训练。统计表明，每年的研究生入学考试高等数学内容较之前几年都有较大的重复率，近年试题与往年考题雷同的占50%左右，这些考题或者改变某一数字，或改变一种说法，但解题的思路和所用到的知识点几乎一样。通过对考研的试题类型、特点、思路进行系统的归纳总结，并做一定数量习题，有意识地重点解决解题思路问题。对于那些具有很强的典型性、灵活性、启发性和综合性的题，要特别注重解题思路和技巧的培养。尽管试题千变万化，其知识结构基本相同，题型相对固定。提练题型的目的，是为了提高解题的

针对性，形成思维定势，进而提高考生解题的速度和准确性。

下面以数学一为主总结一下高数各部分常见题型。

一、 函数、极限与连续

求分段函数的复合函数;求极限或已知极限确定原式中的常数;讨论函数的连续性，判断间断点的类型;无穷小阶的比较;讨论连续函数在给定区间上零点的

个数，或确定方程在给定区间上有无实根。

二、一元函数微分学

求给定函数的导数与微分(包括高阶导数)，隐函数和由参数方程所确定的函数求导，特别是分段函数和带有绝对值的函数可导性的讨论;利用洛 …… 此处隐藏：2935字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……