(新课标)高中数学《第一章 导数及其应用》知识点、考点、及其例

高中数学选修2----2知识点导数及其应用

知识点：

一．导数概念的引入

1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数y f(x)在x x0处的瞬时变化率是

x 0

lim

f(x0 x) f(x0)

，

x

我们称它为函数y f(x)在x x0处的导数，记作f (x0)或y |x x0， 即f (x0)=lim

x 0

f(x0 x) f(x0)

x

2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点Pn趋近于P时，直线PT与

曲线相切。容易知道，割线PPn的斜率是kn

f(xn) f(x0)

，当点Pn趋近于P时，函

xn x0

f(xn) f(x)0

f( x)0

xn x0

数y f(x)在x x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k lim

x 0

3. 导函数：当x变化时，f (x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数. y f(x)的

导函数有时也记作y ,即f (x) lim考点：无 知识点：

二.导数的计算

1）基本初等函数的导数公式:

1若f(x) c(c为常数)，则f (x) 0； 2 若f(x) x,则f (x) x

1

x 0

f(x x) f(x)

x

;

3 若f(x) sinx,则f (x) cosx 4 若f(x) cosx,则f (x) sinx; 5 若f(x) a,则f (x) alna 6 若f(x) e,则f (x) e

x

x

xx

1 xlna1

8 若f(x) lnx,则f (x)

x

x

7 若f(x) loga,则f (x)

2）导数的运算法则

1. [f(x) g(x)] f (x) g (x)

2. [f(x) g(x)] f (x) g(x) f(x) g (x)

3. [

f(x)f (x) g(x) g(x)] f(x) g (x)

[g(x)]

2

3）复合函数求导

y f(u)和u g(x),称则y可以表示成为x的函数,即y f(g(x))为一个复合函数 y f (g(x)) g (x)

考点：导数的求导及运算 ★1、已知

f x x2 2x sin ，则f' 0

★2、若f x exsinx，则f'

x ★3.f(x)=ax3

+3x2

+2 ，

f ( 1) 4，则a=（ ）

A.

10133

B.

3

C.16

3

D.19 3

★★4.过抛物线y=x2

上的点M(1,124

)的切线的倾斜角是（） A.30° B.45° C.60° D.90°

★★5.如果曲线y

92

x2

3与y 2 x3在x x0处的切线互相垂直，则x0= 三.导数在研究函数中的应用 知识点：

1.函数的单调性与导数:

一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：

在某个区间(a,b)内，如果f (x) 0，那么函数y f(x)在这个区间单调递增； 如果f (x) 0，那么函数y f(x)在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数

极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数y f(x)的极值的方法是:

(1) 如果在x0附近的左侧f (x) 0,右侧f (x) 0,那么f(x0)是极大值; (2) 如果在x0附近的左侧f (x) 0,右侧f (x) 0,那么f(x0)是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数

函数极大值与最大值之间的关系.

求函数y f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数y f(x)在(a,b)内的极值；

（2） 将函数y f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.

四.生活中的优化问题

利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题 考点：1、导数在切线方程中的应用 2、导数在单调性中的应用 3、导数在极值、最值中的应用 4、导数在恒成立问题中的应用 一、题型一：导数在切线方程中的运用

★1.曲线y x在P点处的切线斜率为k,若k=3，则P点为（ ） A.（－2，－8） B.（－1，－1）或（1，1）

3

11

C.（2，8） D.（－2，－8）

★2.曲线y

13

过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（ ） x x2 5，

3

3

6434A. B. C. D.

二、题型二：导数在单调性中的运用

32

f(x) x 3x 1是减函数的区间为( ) ★1.(05广东卷)函数

A.(2, ) B.( ,2) C.( ,0) D.(0,2)

32

f(x) 2x 6x 7，下列说法不正确的是（ ） ★2．关于函数

A．在区间（ ，0）内，f(x)为增函数 B．在区间（0，2）内，f(x)为减函数

(2, )内,f(x)为

C．在区间（2， ）内，f(x)为增函数 D．在区间（ ，0）

增函数

★★3．(05江西)已知函数y xf(x)的图象如右图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数)，

下面四个图象中y f(x)的图象大致是（ ）

★★★4、（2010年山东21）（本小题满分12分）

已知函数f(x) 1nx ax （Ⅰ）当a

1 a

1(a R). x

1时，求曲线y f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；

（Ⅱ）当a≤

1

时，讨论f(x)的单调性． 2

三、导数在最值、极值中的运用：

32

f(x) x ax 3x 9，已知f(x)在x 3时取得极值，则a=★1.（05全国卷Ⅰ）函数

（ ）

A．2

3

B. 3

2

C. 4 D.5

★2．函数y 2x 3x 12x 5在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A.5 , - 15 B.5 , 4 C.- 4 , - 15 D.5 , - 16 ★★★3.（根据04年天津卷文21改编）已知函数当x 1时f(x)取得极值－2.

（1）试求a、c、d的值；（2）求f(x)的单调区间和极大值； ★★★4.（根据山东2008年文21改编）设函数f(x) xe为f(x)的极值点。 （1）求a,b的值； （2）讨论f(x)的单调性；

2

x 1

f(x) ax3 cx d(a 0)

是R上的奇函数，

ax3 bx2，已知x 2和x 1