离散型随机变量的均值

2.3.1 离散型随机变量的均值

自 主 学 习

课 标 导 学

通过实例，理解离散型随机变量的均值、方差的概念， 能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实 际问题.

教 材 导 读1.一般地，若离散型随机变量 X 的分布列是

X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn

EX=x1p1+x2p2+ +xipi+ +xnpn 则称①________________________________为随机变量 X 的均值或数学期望.

2.离散型随机变量的均值反映了 随机变量取值的平均水平 ②______________________________. 3 若 X、Y 是离散型随机变量，且 Y=aX+b,则有 EY= aEX+b ③________________.EX=p 4.若随机变量 X 服从两点分布，则④__________.

思考探究 1 若 c 为常数，则 E(c)为何值？ 提示：E(c)=c 思考探究 2 若 X、Y 均为离散型随机变量，则 E(X+Y)与 EX 和 EY 间有什么关系？ 提示：E(X+Y)=EX+EY.

基 础 自 测1.随机变量 X 的分布列为

X 0 2 4 P 0.4 0.3 0.3则 E(5X+4)=( A.13 B.11 ) C.2.2 D.2.3

解析：EX=1.8,∴E(5X+4)=5EX+4=13.答案：A

2.随机变量 X 的分布列为

X 0 1 2 3 4 5 P 2x 3x 7x 2x 3x x则 EX=( 1 A. 18 ) 1 B. 9 20 C. 9 9 D. 20

1 解析：2x+3x+7x+2x+3x+x=1,x= . 18 ∴EX= 0×2x+ 1×3x+ 2×7x+ 3×2x+ 4×3x+ 5x= 1 20 40x=40× = . 18 9答案：C

3.已知随机变量 X 的分布列为X P -1 1 2 0 1 3 1 1 6

7 则 η=aX+3,Eη= ,则 a 为( 3 A.1 B.2 C.3 D.4

)

1 1 1 1 解析：EX=(-1)× +0× +1× =- . 2 3 6 3 Eη=E(aX+3)=aEX+3. 7 1 ∴ =a(- )+3.解得 a=2. 3 3答案：B

4.同时抛掷两枚骰子，至少出现一个 5 点或 6 点，就 说试验成功.则在 30 次试验中成功次数 X 的期望为____.4 解析：抛掷两枚骰子，都不出现 5 点和 6 点的概率为 6 4 4 4 5 × = ,故至少出现 5 点或 6 点的概率为 1- = ,∴X~ 6 9 9 9 5 5 50 B(30, ).∴EX=30× = . 9 9 3 50 答案： 3

5.交 5 元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小 的球 10 个，其中有 8 个标有 1 元钱，2 个标有 5 元钱，摸 奖者只能从中任取 2 个球， 他所得奖励是所抽 2 球的钱数之 和.求抽奖人获利的数学期望.

解：设 X 为抽到的 2 球钱数之和，则 X 的可能取值如 下： X=2,抽到 2 个 1 元； X=6,抽到 1 个 1 元，1 个 5 元； X=10,抽到 2 个 5 元. C2 28 C1C1 16 8 8 2 ∴P(X=2)= 2 = ,P(X=6)= 2 = , C10 45 C10 45 C2 1 28 16 1 162 2 P(X=10)= 2 = , EX=2× +6× +10× = . C10 45 45 45 45 45 又设 η 为抽奖者所获利润，则 η=X-5, 162 7 所以获利的期望为 Eη=EX-5= -5=- . 45 5

合 作 学 习

思 维 聚 焦1.均值的概念产生的背景 我们在初中学习过“加权平均数”: n 个数据中， 在 如果 x1 出现 f1 次，x2 出

现 f2 次， ,xk 出现 fk 次，(f1+f2+ +fk x1f1+x2f2+ +xkfk f1 f2 fk =n),那么， x = =x1 +x2 + +xk ,其 n n n n fi 中， (i=1,2, ,k)正好是 xi 发生的频率. n

2.均值(数学期望)的定义 一般地，若离散型随机变量 X 的概率分布为：X x1 x2 x n P p1 p2 pn

则称 EX=x1p1+x2p2+ +xnpn+ 为随机变量 X 的均 值或数学期望.数学期望简称为期望.

3.两个特殊的均值 (1)两点分布的均值 若 X 服从两点分布，则 EX=p.根据数学期望的概念和 两点分布的分布列特征，易得该公式. (2)二项分布的均值 若 X~B(n,p),则 EX=np,根据数学期望的概念及二 项分布的分布列特征和分布列的性质，可推导出该公式.

4.对公式 E(aX+b)=aEX+b 的理解 (1)当 a=0 时，E(b)=b,即常数的均值就是这个常数本 身. (2)当 a=1 时，E(X+b)=EX+b,即随机变量 X 与常数 之和的均值等于 X 的均值与这个常数的和. (3)当 b=0 时，E(aX)=aEX,即常数与随机变量乘积的 均值等于这个常数与随机变量均值的乘积.

思 维 激 活 求离散型随机变量的均值 例 1 有一批数量非常多的产品，其次品率是 15%,对这 批产品进行抽查， 每次抽出 1 件， 如果抽出次品， 则抽查终止， 否则继续抽查， 直到抽出次品， 但抽查次数最多不超过 10 次， 求抽查次数 ξ 的数学期望(结果保留三位有效数字).

[分析] 因为产品的数量很大，每次抽取一件产品可以 认为是相互独立事件，可利用相互独立事件的概率公式求 出 ξ 的所有可能取值的概率，写出 ξ 的分布列，求出 Eξ.

[解] 记“第 i 次取出正品”为事件 Ai,i=1,2, ,9, “第 i 次取出次品”为事件 Bi, 则前 i-1 次取出正品， 而第 i 次(i=1,2, ,9)取出次品的概率是 P(ξ = i) = P(A1A2 Ai - 1Bi) = P(A1)P(A2)P(A3) P(Ai - 1)P(Bi) =0.85×0.85× ×0.85×0.15=0.85i-1×0.15, 需要抽查 10 次，则前 9 次都是取出正品，其概率为 P(A1A2 A9)=P(A1)P(A2) P(A9)=0.859.