计量经济学 时间序列

内容回顾： 什么是虚拟变量？ 它有什么作用？ 引入虚拟变量的方式有几种？各在什么 情况下引入？ CHOW(邹)检验需要首先判断出什么 点？如何操作？其检验的原理是什么？ CHOW检验的自由度如何确定？

第四章 时间序列

第一节第二节 第三节

时间序列的平稳性及其检验时间序列模型的识别、估计、预测 协整分析与误差修正模型

一、问题的引出：非平稳变量与经典 回归模型

1.经典回归模型与数据的平稳性 经典回归分析暗含着一个重要假设：数据是平稳的。 数据非平稳，大样本下的统计推断基础——“一致 性”要求被破怀。 经典回归分析的假设之一：解释变量X是非随机变 量，只能有一个均值。因变量无此限制。 放宽该假设：X是随机变量，则需进一步要求： (1)X与随机扰动项 不相关∶Cov(X, )=0 (2) ( X i X ) 2 / n 依概率收敛： P lim ( ( Xn i

X ) 2 / n) Q

2 数据非平稳与“虚假回归”问题表现在:两个本来没有任何因果关系的变量，却 有很高的相关性(有较高的R2): 例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的变 化趋势(非平稳的),即使它们没有任何有意义的 关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。 在现实经济生活中： 情况往往是实际的时间序列数据是非平稳的，而 且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现为 一致的上升或下降。这样，仍然通过经典的因果关 系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。

二、时间序列数据的平稳性

时间序列分析中首先遇到的问题是关于时间序列 数据的平稳性问题。 假定某个时间序列是由某一随机过程(stochastic process)生成的，即假定时间序列{Xt}(t=1, 2, …) 的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果 满足下列条件：1)均值E(Xt)= 是与时间t 无关的常数； 2)方差Var(Xt)= 2是与时间t 无关的常数； 3)协方差Cov(Xt,Xt+k)= k 是只与时期间隔k有关，与时间t 无关的常数；

平稳列就是一列水平的数据,有趋势就不是平稳

例：一个最简单的随机时间序列是一具有零均值 同方差的独立分布序列： Xt= t , t~N(0, 2) 该序列常被称为是一个白噪声(white noise)。 由于Xt具有相同的均值与方差，且协方差为零,由 定义,一个白噪声序列是平稳的。

三、平稳性检验的图示判断

给出一个随机时间序列，首先可通过该 序列的时间路径图来粗略地判断它是否 是平稳的。 一个平稳的时间序列在图形上往往表现 出一种围绕其均值不断波动的过程； 而非平稳序列则往往表现出在不同的时 间段具有不同的均值(如持续上升或持

续下降)。

Xt

Xt

t (a) (b) 图 9.1 平稳时间序列与非平稳时间序列图

t

四、平稳性的单位根检验

序列类型 白噪声： 随机游走 带漂移项的随机游走 趋势平稳过程 确定性趋势非平稳xt t xt xt 1 t xt 0 1t t xt 0 1t xt 1 t

xt xt 1 t , when 1

对时间序列的平稳性除了通过图形直观判断外， 运用统计量进行统计检验则是更为准确与重要的。 单位根检验(unit root test)是统计检验中普遍 应用的一种检验方法。

1、DF检验我们已知道，随机游走序列 Xt=Xt-1+ t 是非平稳的，其中 t是白噪声。 而该序列可看成是随机模型 Xt= Xt-1+ t 中参数 =1时的情形。

也就是说，我们对式 Xt= Xt-1+ t (*) 做回归，如果确实发现 =1,就说随机变量Xt有 一个单位根。 (*)式可变形式成差分形式： Xt=( -1)Xt-1+ t = Xt-1+ t (**)

检验( * )式是否存在单位根 =1 ,也可通过 (**)式判断是否有 =0(若等于零就存在单位 根,如果小于零则不存在单位根,即数列是平稳的 )。

一般地: 检验一个时间序列Xt的平稳性，可通过检验 带有截距项的一阶自回归模型 Xt= + Xt-1+ t (*) 中的参数 是否小于1。 或者：检验其等价变形式 Xt= + Xt-1+ t (**) 中的参数 是否小于0(为什么不检验 =1?) 。 注：请证明，(*)式中的参数 >1或 =1时，时间序列是非平稳的; 对应于(**)式，则是 >0或 =0。

因此，针对式 Xt= + Xt-1+ t 我们关心的检验为：零假设 H0: =0。 备择假设 H1: <0 上述检验可通过OLS法下的t检验完成。然而，在零假设(序列非平稳)下，即使在大样 本下t 统计量也是有偏误的(向下偏倚),通常的t 检验无法使用。 Dicky 和 Fuller 于 1976 年提出了这一情形下 t 统计量 服从的分布(这时的t统计量称为 统计量),即DF 分布(见表9.1.3)。 由于 t 统计量的向下偏倚性，它呈现围绕小于零值 的偏态分布。

因此，可通过OLS法估计 Xt= + Xt-1+ t 并计算t统计量的值，与DF分布表中给定显著 性水平下的临界值比较： = -1 如果：t<临界值，则拒绝零假设H0: =0, 认为时间序列不存在单位根，是平稳的。(注 意：此时运用的是T左尾单侧检验，所以与正 常的T检验判断相反！)

2、ADF检验进一步的问题：在上述使用 Xt= + Xt-1+ t 对时间序列进行平稳性检验中，实际上假定了时间序列是由 具有白噪声随机误差项的一阶自回归过程AR(1)生成的。 但在实际检验中，时间序列可能由更高阶的自回归过程 生成的，或者随机误差项并非是白

噪声，这样用OLS法进行 估计均会表现出随机误差项出现自相关(autocorrelation), 导致DF检验无效。此时需将因变量自回归项加入模型。 另外，如果时间序列包含有明显的随时间变化的某种趋 势(如上升或下降),则也容易导致上述检验中的自相关随 机误差项问题。 为了保证 DF 检验中随机误差项的白噪声特性， Dicky 和 Fuller对DF检验进行了扩充，形成了ADF(Augment DickeyFuller )检验。

ADF检验是通过下面三个模型完成的：模型 1:

X t X t 1 i X t i ti 1

m

( *)

模型 2:

X t X t 1 i X t i ti 1

m

(**)

模型 3:

X t t X t 1 i X t i ti 1

m

(***)

模型3 中的t是时间变量，代表了时间序列随时 间变化的某种趋势(如果有的话)。 检验的假设都是：针对H1: <0,检验 H0: =0, 即存在一单位根。模型 1 与另两模型的差别在于 是否包含有常数项和趋势项。

实际检验时从模型3开始，然后模型2、模型1。何时检验拒绝零假设，即原序列不存在单位根， 为平稳序列，何时检验停止(只要证明 <0则无需再 证明) 。否则，就要继续检验，直到检验完模型1 为止。 检验原理与DF检验相同，只是对模型1、2、3 进行检验时，有各自相应的临界值。