数学函数值域求法打印

来源：网络收集时间：2026-05-15

导读：高考数学函数值域测试 1.函数y=x2+ 11 (x≤－)的值域是2x 2.函数y=x+ 2x的值域是3.设x1、x2为方程4x2－4mx+m+2=0的两个实根，当m=___ 时，x12+x22有最小值_____. 4.已知函数f(x)=lg［(a2－1)x2+(a+1)x+1］ (1)若f(x)的定义域为(－∞,+∞)，求实数a的取值范围

高考数学函数值域测试

1.函数y=x2+

(x≤－)的值域是2x

2.函数y=x+ 2x的值域是3.设x1、x2为方程4x2－4mx+m+2=0的两个实根，当m=___ 时，x12+x22有最小值_____.

4.已知函数f(x)=lg［(a2－1)x2+(a+1)x+1］

(1)若f(x)的定义域为(－∞,+∞)，求实数a的取值范围； (2)若f(x)的值域为(－∞,+∞),求实数a的取值范围.

5.在Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB所在直线为轴将△ABC旋转一周生成两个圆锥，设这两个圆锥的侧面积之积为S1，△ABC的内切圆面积为S2，记

(1)求函数f(x)=

BC CA

=x. AB

的解析式并求f(x)的定义域. S2

(2)求函数f(x)的最小值.

6．设m是实数，记M={m|m>1},f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+

). m 1

(1)证明：当m∈M时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则m∈M.

(2)当m∈M时，求函数f(x)的最小值.

(3)求证：对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1. 7．定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．(1)求证f(x)为奇函数；

(2)若f(k·3)+f(3-9-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

111

）上是减函数，m2=在(－∞,－）上是减函数， 22x

11117

∴y=x2+在x∈(－∞,－)上为减函数,∴y=x2+ (x≤－)的值域为［－，+∞).

224xx1 t21 t21

2.令 2x=t(t≥0),则x=.∵y=+t=－ (t－1)2+1≤1∴值域为(－∞,1].

222

m 2m 21

3.由韦达定理知：x1+x2=m,x1x2=,∴x12+x22=(x1+x2)2－2x1x2=m2－=(m－)2

424

17117－,又x1,x2为实根，∴Δ≥0.∴m≤－1或m≥2，y=(m－)2－在区间(－∞,1）上是

416161

减函数，在［2，+∞)上是增函数又抛物线y开口向上且以m=为对称轴.故m=1时，

1ymin=.

1.解析：∵m1=x2在(－∞,－

4.解：(1）依题意(a2－1）x2+(a+1)x+1>0对一切x∈R恒成立，当a2－1≠0时，其充要

a 1或a 12

a 1 0

,即条件是， 522

a 或a 1 (a 1) 4(a 1) 0 3

∴a＜－1或a>

.又a=－1时，f(x)=0满足题意，a=1时不合题意.故a≤－1或a>为33

所求.

(2）依题意只要t=(a2－1)x2+(a+1)x+1能取到(0，+∞）上的任何值，则f(x)的值域为R，

a2 1 05故有 ,解得1＜a≤,又当a2－1=0即a=1时，t=2x+1符合题意而a=－1时不合题

3 0

意，∴1≤a≤

为所求. 3

ab, c

5.解：(1）如图所示：设BC=a,CA=b,AB=c,则斜边AB上的高h=∴S1=πah+πbh=∴f(x)=

(a b),S2 (

a b c2

),, 2

①

S14ab(a b) S2c(a b c)2

a b a b cx2 x2(x x) 2 又 c 代入①消c，得f(x)=. c2

x 1 a2 b2 c2 ab (x 1)

在Rt△ABC中，有a=csinA,b=ccosA(0＜A＜x=

),则

a b

=sinA+cosA=2sin(A+).∴1＜x≤2

. c4

2(x2 x)22

2[(x 1) ] +6,设t=x－1,则t∈(0, 2－1),y=2(t+)+6在(0，(2)f(x)=

x 1x 1t

2－1]上是减函数，∴当x=(2－1)+1=2时，f(x)的最小值为62+8.

6.解(1)证明：先将f(x)变形：f(x)=log3［(x－2m)2+m+

当m∈M时，m>1,∴(x－m)2+m+

］, m 1

>0恒成立，故f(x)的定义域为R. m 1

反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则只须x2－4mx+4m2+m+>0,令Δ＜0,即16m2

m 1

－4(4m2+m+)＜0,解得m>1,故m∈M.

m 1

(2)解析：设u=x2－4mx+4m2+m+,∵y=log3u是增函数，∴当u最小时，f(x)最小.

m 1

111

而u=(x－2m)2+m+,显然，当x=m时，u取最小值为m+,此时f(2m)=log3(m+)

m 1m 1m 1

为最小值.

(3)证明：当m∈M时，m+∴log3(m+

=(m－1)+ +1≥3,当且仅当m=2时等号成立. m 1m 1

)≥log33=1. m 1

解: (1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)， ① 令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．

(2)解：f(3)=log23＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，

又由(1)f(x)是奇函数．f(k·3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)， ∴ k·3＜-3+9+2，3

-(1+k)·3+2＞0对任意x∈R成立．

令t=3＞0，问题等价于t-(1+k)t+2＞0 对任意t＞0恒成立．

R恒成立．

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