平方根与立方根及实数

“平方根”与“立方根”

一、知识要点 1、平方根：

⑴、定义：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作

“（a称为被开方数）。

⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

⑶、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平

。 2、立方根：

⑴、定义：如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作

（a称为被开方数）。

⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。

3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。

二、规律总结：

1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。

2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方

根，这个立方根的符号与原数相同。

3

有意义的条件是a≥0。

4、公式：⑴

2=a（a≥0）

a取任何数）。

5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。 例1 求下列各数的平方根和算术平方根 （1）64；（2）( 3)2

； （3）1

15

49

； ⑷ 1( 3)2

例2 求下列各式的值

（1） ； （2） ； （3925

； （4( 4)2

.

（5）.44，（6） 36，（7） 2549

（8）( 25)2

例3、求下列各数的立方根：

⑴ 343； ⑵ 2

10

27

； ⑶ 0.729

二、巧用被开方数的非负性求值. 大家知道，当a≥0时，a的平方根是±，即a是非负数. 例4、若2 x x 2 y 6,求yx

的立方根.

练习：已知y 2x

2x 1 2,求xy的值.

三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.

我们知道，当a≥0时，a的平方根是±a，

而( a) ( a) 0.

例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a，求a的

平方的相反数的立方根.

练习：若2a 3和a 12是数m的平方根，求m的值.

四、巧解方程

例6、解方程（1）（x+1）2

=36 （2）27(x+1)3=64

五、巧用算术平方根的最小值求值.

我们已经知道a 0,即a=0时其值最小,换句话说a的最小值是零.

例4、已知：y=a 2 (b 1),当a、b取不同的值时，y也有不同的值.当y最小时,求ba

的非算术平方根.

y 3 (z 2)2

0，求xyz的值。 ②已知

互为相反数，求a，b的值。

六、实数

1、实数：有理数和无理数统称为实数．我们一般用下列两种情况将实数进行分类：

①按属性分类： ②按符号分类

2．关于有理数的运算法则：运算规律和运算性质，在进行实数运算时仍适用．在实数范围内，不仅可以进行加．减．乘．除．乘方运算，而且正数和零总可以进行开平方运算，任何一个数都可以开立方运算． 3．实数和数轴上的点的对应关系：实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．反过来，数轴上的每一个点都可以表示一个实数．我们可以用几何作图方法，在数轴上表示某些无理数，如

、

等．

思考：（1）－a2一定是负数吗？－a一定是正数吗？ （2

）大家都知道

是一个无理数，那么

－1在哪两

个整数之间？

(3)的整数部分为a,小数部分为b,则a=____, b=____ (4)实数包括____________或__________________； (5)

下列各数：

3

， ，0.28，0

3.14159，

0.121121112

，22

7

．其中无理数有（ ）个 七、实数大小比较的方法 一、平方法 比较

3

2

和的大小

二、移动因式法 比较23和32的大小

三、求差法 比较5 1

2

和1的大小

四、求商法 比较4

3

5和的大小

练习：比较下列各组数的大小： ①

2和 ；②和3 2；③和34

5

；

④ 7和－2.45。

八、解答题（每题4分，共8分） 1、当a

12

2

时，化简 4a 4a |2a 1|

2、已知实数a 、b在数轴上表示的点如上图，

化简a b+(a b 1)2