数学竞赛中的数论问题(4)

例3 有一大筐苹果和梨分成若干堆，如果你一定可以找到这样的两堆，其苹果数之和与梨数之和都是偶数，问最少要把这些苹果和梨分成几堆？

解 （1）4堆是不能保证的．如4堆的奇偶性为：（反例） （奇奇），（偶偶），（奇偶），（偶奇）．

（2）5堆是可以保证． 因为苹果和梨数的奇偶性有且只有上述4种可能，当把这些苹果和梨分成5堆时，必有2堆属于同一奇偶性，其和苹果数与梨数都是偶数．

例4 有n个数x1,x2,

/

/

/

,xn 1,xn，它们中的每一个要么是1，要么是 1．若

x1x2 x2x3

nxx nxx0，求证4|n． 1n1

证明 由xi 1, 1 ，有xixi 1 1, 1 ，再由

x1x2 x2x3

xn 1xn xnx1 0，

知n个xixi 1中有一半是1，有一半是 1，n必为偶数，设n 2k．

现把n个xixi 1相乘，有 ( 1)k( 1)k x1x2x2x3

xn 1xnxnx1 x12x22xn 12xn2 1，

可见，k为偶数，设k 2m，有n 4m，得证4|n．

例5 n个整数a1,a2,

,an 1,an，其积为n，其和为0，试证4|n．

an 1an n知，a1,a2,

,an 1,an全为奇数，

证明 先证n为偶数，若不然，由a1a2

其和必为奇数，与其和为0（偶数），故n必为偶数．（a1,a2,

再证n为4的倍数，若不然，由n为偶数知，a1,a2,

,an 1,an中至少有1个偶数）

,an 1,an恰有一个为偶数，其余

n 1个数全为奇数，奇数个奇数之和必为奇数，加上一个偶数，总和为奇数，与

a1,a2,

（a1,a,an 1,an之和为0矛盾，所以，n为4的倍数，4|n．2,,a,1n an中至少有