北京航空航天大学-工科数学分析2014-2015(2)期中

北京航空航天大学工科数学分析2期中考试题(附答案)

北京航空航天大学

2014－2015 学年 第二学期期中

《 工科数学分析（2） 》

班号 学号 姓名 成绩

2015年5月16日

北京航空航天大学工科数学分析2期中考试题(附答案)

一、 选择题（每题4分，满20分）

1. 设{fn(x)}是定义在点集D上的函数列，与“函数项级数上一致收敛”等价的论断是下述的（ ）

A． 0, 正整数N, 当m n N, 对于一切x D都有|fm(x) fn(x)| . B． 0, 正整数N, 当m n N, 对于一切x D都有|C． 函数列{fn(x)}在点集D上一致收敛于0.

D． 对于每一个x D, 0, 正整数N, 当m n N, |

n 1

fn(x)在点集D

k n 1

m

fk(x)| .

k n 1

m

fk(x)| .

3n ( 2)n

(x 1)n的收敛域为（ ） 2. 幂级数 nn 0

A.

2424

(,) ； B. [,)； C. ( 3,3)； D. ( 2,4) ． 3333

x y

3. 函数e

的二阶Maclaurin公式为（ ）

(x y)2

o(x y)； B. 1 (x y) o(x y)； A. 1 (x y)

2

(x y)2(x y)222

o(x y)； D. 1 (x y) o(x2 y2)． C. 1 (x y)

22

4.

函数z f(x,y)在点(x0,y0)处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ ）

A. 必要而非充分条件； B. 充分而非必要条件； C. 充分必要条件； D. 既非充分又非必要条件． 5. 已知二元函数①limlim

x 0y 0

x2y

f(x,y) 4

x y2

y 0x 0

，下面命题正确的是（ ）

f(x,y) limlimf(x,y) 0； f(x,y),limlimf(x,y)不存在；

y 0x 0

②limlim

x 0y 0

③ limx 0

y 0

f(x,y) 0；

④lim

x 0

y 0

f(x,y)不存在.

A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④

1

北京航空航天大学工科数学分析2期中考试题(附答案)

二、（每题6分，满分30分）

zxy. 1. 设z F x z,y ，求方程所确定的隐函数的偏导数zx，

r

2. 求函数u xyz在点M(1,1,1)，沿方向 l (2, 1,3) 的方向导数与梯度。

3. 求球面x y+z 50与平面x+y z 0的交线在点(5,0, 5)点处的切线与法平

面方程。

2

2

2

2

北京航空航天大学工科数学分析2期中考试题(附答案)

4. 将函数f(x) x在[ , ]展开为Fourier级数，并由此求级数

2

n

n 1

1

2

的和。

( 1)nx

(1 )n在区间[0,1]上的一致收敛性。 5. 判断级数 nnn 1

3

北京航空航天大学工科数学分析2期中考试题(附答案)

三、（本题

10分）

n

cos2n

arctan(3 n)是否收敛，若收敛，判别它是绝对收敛还是条件判断级数 ( 1)

nn 1

收敛。

四、（本题８分）

证明函数项级数S(x)

4

1( x)n在区间( 1,1)上连续。 n 1n

北京航空航天大学工科数学分析2期中考试题(附答案)

2讨论函数f(x,y) 0,

(x,y) (0,0)(x,y) (0,0)

在(0,0)点的连续性、可偏导性和可微性.

六、（本题10分）

某工厂生产一批长方体无盖盒子, 要求其体积为1m3。问：如何设定盒子的长、宽、高 才能使得用料最省？

5

北京航空航天大学工科数学分析2期中考试题(附答案)

xn

设S(x) 2,0 x 1,证明对 x (0,1)，有

n 1n

(1)S(x) S(1 x) lnx ln(1 x) C(常数);

(2)C f(1) 1

2.

n 1n

6