解三角形与数列知识整理(超好)

高二数学解三角形与数列知识整理

1. 三角基本关系式：

sin2 cos2 1，tan sin

cos

．

2. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式：

⑴cos cos cos sin sin ；⑵cos cos cos sin sin ； ⑶sin sin cos cos sin ；⑷sin sin cos cos sin ； ⑸tan

tan tan

1 tan tan

，变形：tan tan tan 1 tan tan ；

⑹tan

tan tan

1 tan tan

，变形：tan tan tan 1 tan tan ．

3. 重要的诱导公式：

sin sin ，cos cos ，tan tan ．

三角形中常考点：

sin(A B) sinC；cos(A B) cosC；

tan(A B) tanC，tanA tanB tanC tanA tanB tanC．

4. 二倍角的正弦、余弦和正切公式：

⑴sin2 2sin cos ； ⑵cos2 cos

2

sin2 2cos2 1 1 2sin2

，

变形：cos2

1 cos2 2，sin2

1 cos2 2

； ⑶tan2

sin2 cos2 2sin cos cos2 sin2 2tan

1 tan2

． 5. 一个综合性很强的例子：

cos2 cos2 sin2

(cos sin )(cos sin1 sin2 sin2 cos2 2sin cos

)

(sin cos )2

cos sin 1 tan

sin cos tan 1 1 tan 1 tan tan( 4

)6. 辅助角公式（一角一函数）：

asin bcos ，其中tan

b

a

． 常见辅助角公式：

sinx cosx

x xx 2sin

，

x ，

x cosx 2sin x ，

sinx x 2sin

x ，

32sinxx x 3 ，

x 2cosx

x ， 7. 根据“函数y sin x 0， 0 ”的定义域，利用其单调性求其最值． 8. 设 、 两点的坐标分别为 x1，y1 ， x2，y2 ，有： ⑴ x1 x2,y1

y2 ；⑵| | ．

9. 设a x1，y1 ，

b x2，y2 ，有： ⑴模长：

a

b

⑵坐标运算：a b x1 x2，y1 y2 ，a b x1 x2，y1 y2 ，a b x1x2 y1y2；⑶平行与垂直：若a∥b，则x1y2 x2y1 0；若a b，则a b x1x2 y1y2 0； ⑷数量积：a

b abcos ， cos a bab

10. 正弦定理：

在 C中，有

asin bsin c

sinC

2R，其中，R为 C的外接圆的半径． 正弦定理的变形公式：

①a 2Rsin ，b 2Rsin ，c 2RsinC；

②sin

a2R，sin bc

2R，sinC 2R

； ③a:b:c sin :sin :sinC；

④a b casin sin sinC sin bsin c

sinC

．

11. 射影定理：（要求会用两角和的正弦公式及正弦定理证明）

a bcosC ccosB，b acosC ccosA，c acosB bcosA.

12. 三角形面积初级公式：

S C 12ah12 12ch斜边上的高haba bhbc，（Rt△ABC

c c

）S1 C

2absinC 12acsin 1

2

bcsin ； 三角形面积中级公式：

S C

abc4R 1

(a b c)r内；

外2

S1

Cp 2

(a b c)；

三角形面积高级公式：

若CB a (x1，y1)，CA b (x2，y2)，则

S C

12|a||b|sinC 1

2

|x1y2 x2y1|． 13. 余弦定理：（要求会用向量法证明）

在 C中，有a2

b2

c2

2bccos ，b2

a2

c2

2accos ，

c2 a2 b2 2abcosC．

余弦定理的变形及应用：

b2 c2 a22bc，cos

a2 c2 b2a2 b2 c2

①cos2ac

，cosC 2ab；

（求余弦值的方法还有：数量积的变形公式cos

a bab

）

②若a2 b2 c2，则C 90；若a2 b2 c2，则C 90；若a2 b2

c2

，则C 90． 14. 一个重要结论：（要求会用余弦定理或向量法证明） 平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和，即

AC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2 2(AB2 BC2)

．

所以AC2

(2BO)2

2(AB2

BC2

)，所以△ABC的中线BO

15. 等差数列与等比数列：

16. 求通项公式的方法：

（1）公式法：等差an a1 (n 1)d，等比an a1qn 1； （2）累加法：an 1 an f(n)，且

f(n)可求；

11

ln(1 )，3n 3n等）

n(n 1)n（常见的f(n)有2n 1（3）累乘法：

nan 1

，3n等） （常见的f(n)有 f(n)，且 f(n)可求；

n 1an

，n 1 S1

a （4）由Sn求an：n ，注意验证n 1的情形；

n≥2 Sn ! Sn，

（常见的Sn有n2 2n，n2 2n 3，3n 1等）

（5）构造法：

①an 1 pan q(p 1，pq 0)，构造公比为p的等比数列{an t}；

②an 1 pan f(n)（其中f(n)为指数型函数），两边同时除以（底数）n+1； ③构造{an 1 an}为等差或等比数列，然后转到①②； ④取倒数：常见的有an 1

an2an

，an 1 ，an 1 an 2an 1an，an 1 an 2nan 1an等．

2an 1an 1

17. 求前n项和的方法：公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、通项转换法、分组求和法．

（常见题型见学案）