例谈均值不等式的运用条件和技巧

例谈均值不等式的运用条件和技巧

运用均值不等式“若a1,a2,an R ,则a1 a2

n an

当且仅当a1 a2 an(n 2且

n N)时等号成立”求最值是中学数学求最值的基本方法之一，许多外形与它截然相异的函数式，常常也能利用它巧妙地求出最值。且运用均值定理求最值是历年来高考的热点内容，因此必须熟练掌握他的运用条件和运用技巧.

一、重视运用过程中的三个条件：“一正、二定、三相等”，三者缺一不可。

1、注意“正数”

例1、求函数y x 1的值域 . x

误解：x 1，所以值域为 2, . 2（当且仅当x 1时取等号）

x这里错误在于使用均值定理a b 2时忽略了条件：a,b R 正确解法：(

a)当x 0时,x 1 2(仅当x 1时取等号)； x11(b)当x 0时, x 0而( x) ( ) 2(仅当x 1时取等号) x 2xx

所以函数的值域是yy 2或y 2.

2、注意“相等” 例2、设x R，求函数y 3x 1的最小值. x2

误解：拿到很容易想到用均值定理，所以有

x R ,y 2x x 1

x2 32x x 1

x2 2 ymin 2. 1，这样的x不存在，故导致错x2这里的错误是没有考虑等号成立的条件。显然要2x x

误。此题用均值定理，需要拆项，同时要等号成立，需要配一个系数.

正确解法：y

33x3x13x3x133x1. 2 3 2 ( 2时取等号）22x22x22x33,ymin 所以x . 32

例3、设a,b,x,y R,且有a2 b2 3,x2 y2 6,求ax by的最大值. a2 x2b2 y219,by ax by (a2 b2 x2 y2) 误解：ax 2222

所以ax by的最大值为(1) 9. 2

这里（1）取等号的条件是仅当x a,y b；由条件知这是不可能的，所以不可能取到上述的最大值. 正确解法：a2x2 b2y2 2axby,

(a2 b2)(x2 y2) (ax by)

2仅当ax by时取等，

ax by 22所以ax by a b 3时取等号.

x2 y2 6

如取a b 6,x y 3,(ax by)max 32 2

3、注意“定值”

例4、已知x 2y 1,x,y R,求xy的最大值. 2

11x x y3(2x y)3

x y ,时x2y ) (当x y时取等),又x 2y 1，误解：xy (. 3273272

以上过程只能说明当x y 1112时x2y ,这种似是而非的.但没有任何理由说明xy 32727

错误解法，关键在于运用重要不等式放缩后的式子不是定值，致使得不出正确的结果.

正确解法： x,y R, xy 211x x 4y31x 2y32 x x 4y () (2 ) ， 4434327

所以仅当 x 4y212,即x ,y 时取等号, x2y最大值为. 3627 x 2y 1

二、常用的处理方法和技巧

1、拆项：为了创设使用不等式的条件，有时需将一些项作适当的变形，拆为多项之积，从而达到凑积或和为定值的目的。为了使等号成立，常遵循“平均分拆”的原则.

例5、求函数y 2x

解：y 2x 223(x 0)的最小值. x333333 32x2 36(2x2 时取等号）， 2x2x22x2x2x

所以仅当x ymin . 23为相同两项，同时使得含变量的因子x的次数和为零） x（求和的最值，所以凑积为定值，因此拆

2、裂项：常用于分式形式，且分子所含变量因子的次数比分母的含变量因子的次数大或相等时用此方法。

例6、设x 1，求函数y (x 5)(x 2)的最小值

. x 1

解：y [(x 1) 4][(x 1) 1]

x 1

4 x 1 5 x 1

4 5 9(x 1 取等号）x 1

所以仅当x 1时,ymin 9.

（先尽可能的让分子变量项和分母相同，然后裂项转化为求和的最值，进而凑积为定值。即使得含变量的因子x 1的次数和为零，同时取到等号）

3、添项：求和的最小值时，为了使积为定值，需添加某个项.

例7、求函数y 3x 216的最小值.

22 x

16 6 622 x 16当且仅当3(2 x2) 取等号22 x解：y 3(2 x2)

所以当x 4 2,ymin 8 6 3

2（求和的最值，尽可凑积为定值，因此添加6，再减法6，即使得含变量的因子2 x的次数和为零，

同时取到等号）.

例8、若x 0,y 0,且19 1,则x y.的最小值. xy

解：

x y (x y)(

1x9y9xy9x ) 1 9 10 16( 时取等号）yxyxy

y9x x y x 4 所以仅当 时x y的最小值为16. 19y 12 1

xy

[所求变量出现在分子，已知条件变量在分母，为此添上1（即乘1即乘19，变为求和的最 ）xy

值，因此凑积为定值，即使得含变量的因子

注意：例8这种解法也叫用“1”的技巧. y的次数和为零，同时取到等号] x

4、凑系数：为了求积的最大值，常将因式放入根号内，同乘或同除以某个正数，使含变量的各因子之和为常数.

例9、求函数y x2 x2(0 x 1)的最大值.

解:y x2x2x2 1 x222xx23 x2 x4(1 x2) 4 (1 x2) 4()3 2239

x262 1 x2时取等号）因此仅当x ,ymax （仅当. 239

（把变量都放在同一条件下的根号里，求积的最值，凑和为定值，因此配变量x次数相同且系数和为零，且取到等号）

2例10、已知0 x 2,求函数y 6x(4 x)的最大值. 解：

0 x 2, y 0 y 36x2(4 x2)2 2x2 (4 x2)(4 x2)

x2 4 x2取等号）因此仅当x 23,ymax . 33

（求积的最值，凑和为定值，因此首先配变量x次数相同,故把变量放到根号内使次数升高，再配次数相同和系数和为零，且取到等号）

5、分子变量常数化：常用于分式形式，且分子所含变量因子的次数比分母的含变量因子的次数小时用此方法.

3x2

例11、设求函数y 3的最大值. x 4

3x2

解：由题y 3x 434x 2x 3xx4 22x2

而x R , xx4xx4x4 2 3 2 3( 2取等号）22x22x2x

所以仅当x 2,ymax 1.

（分子变量因子次数比分母的小且变量因子不为零，可同时除以分子所含变量因子化为前面形式解）

6、取倒数：已知变量出现在分母，所求为变量积且出现在分子，可取倒数再如前面一样求解. 例12、已知x,y R, 43 1，求x2y的最大值. xy

223 112231xxy3123 () ( 时取等号）解：2 xy12xxy123324xy

23 x y x 62 因此仅当 ,(xy)max 324

4 3 1 y 9

xy