第三章连续信号与系统的频域分析(2)

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周期信号的分解—— ——傅立叶级数 3.3 周期信号的分解——傅立叶级数a0 = 0n为偶数 a = b = 0 n n n为奇数4 21 an = ∫ f (t ) cos(nω1t )dt T1 0T

4 T1 bn = ∫ 2 f (t ) sin(nω1t )dt T1 0其傅立叶级数三角展开式中仅含基波和奇次谐波。 其傅立叶级数三角展开式中仅含基波和奇次谐波。 4)偶谐函数信号f (t ) = f (t ± T1 ) 2

偶谐函数也是周期性函数， 偶谐函数也是周期性函数，它的任意半个周期的波形与前半个 周期的波形完全相同，这种函数中只包含偶次谐波分量。 周期的波形完全相同，这种函数中只包含偶次谐波分量。上一页 返回

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非周期信号的分解—— ——傅里叶变换 3.4 非周期信号的分解——傅里叶变换3.4.11 f (t ) = 2π

从傅里叶级数到傅里叶变换 ∞ f (t )e jωt dt e jωt d ω ∫ ∞ ∫ ∞ F ( jω )∞

的函数， 上式方括号中的部分是参变量 ω 的函数，记为

,即

F ( jω ) = ∫

∞

∞

f (t )e jωt dt2π

代入上式 f (t ) = 1

∫

∞

∞

F ( jω )e jωt d ω

这就是著名的傅里叶变换。 这就是著名的傅里叶变换。常记作 F ( jω ) = F { f (t )}

3.4.2

频谱密度函数 F ( jω )

是信号的频谱函数， 则称为信号的频谱密度函数。 Fn是信号的频谱函数，F ( jω ) 则称为信号的频谱密度函数。下一页 返回

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非周期信号的分解—— ——傅里叶变换 3.4 非周期信号的分解——傅里叶变换3.4.3 傅里叶变换的存在性非周期信号f(t)是否存在傅立叶变换 非

周期信号f(t)是否存在傅立叶变换 F ( jω ) ,仍应满足类似 f(t) 于傅立叶级数的狄里赫利条件， 于傅立叶级数的狄里赫利条件，不同之处仅仅在于一个周期的范围 为 ( ∞, ∞ ) ,即要求信号f(t)在区间绝对可积，则有 即要求信号f(t)在区间绝对可积， f(t)在区间绝对可积F ( jω ) =

∫

∞

∞

f (t ) e jωt dt ≤ ∫

∞

∞

f (t ) dt

3.4.4

常用信号的傅里叶变换

1.实指数函数的傅里叶变换f1 (t ) = e at (t ) ( a > 0)

由定义式可算出 f1 ( t ) 的频谱密度函数上一页 下一页 返回

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非周期信号的分解—— ——傅里叶变换 3.4 非周期信号的分解——傅里叶变换F1 ( jω ) = ∫ e at ε (t )e jωt dt = ∫ e ∞ 0 ∞ ∞ ( a + jω )t

dt

=

1 a jω = 2 a + jω a + ω 2

2.双边指数信号的傅里叶变换 偶双边指数：f 偶双边指数：

(t ) = e

a t

其傅里叶变换为： 其傅里叶变换为：F ( jω ) = ∫ =∫ e ∞ 0 ∞ ∞ a t ∞ ∞

f (t )e jωt dt

(a > 0)

e jωt dt∞ 0

= ∫ e at e jωt dt + ∫ e at e jωt dt 1 1 e( a jω ) t 0 + e ( a + jω )t ∞ (a jω ) (a + jω ) 1 1 2a = + = 2 a jω a + jω a + ω 2 = ∞ 0

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非周期信号的分解—— ——傅里叶变换 3.4 非周期信号的分解——傅里叶变换3.矩形脉冲信号的傅里叶变换 ωτ F (ω ) = Aτ Sa 2

4.符号函数的傅里叶变换 符号函数： 符号函数： 1 t >0 e at sgn(t ) = 0 t = 0 = lim at a →∞ e 1 t < 0 a →0

t >0 t<0

sgn(t ) = lim e at ε (t ) e at ε ( t )

因此它的傅立叶变换为 1 1 2 F ( jω ) = lim F = a →0 a + jω a jω jω

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非周期信号的分解—— ——傅里叶变换 3.4 非周期信号的分解——傅里叶变换5.冲激函数的傅里叶变换 是一个实偶函数， 单位冲激函数 δ (t ) 是一个实偶函数，其付氏变换也应该是一个 实偶函数。 实偶函数。

F ( jω ) = ∫ δ (t )e jωt dt = 1 ∞

+∞

6.直流信号 如图3-21所示，设f(t)=1的付氏变换为 F ( jω ) 21所示， f(t)=1的付氏变换为 所示 变换定义式有 ，则由其反

1 f (t ) = 2π+∞

∫

∞

∞

F ( jω ) e jωt d ω = 1

是偶函数， 考虑到 δ (t ) 是偶函数，则可得

F {1} = F ( jω ) = ∫ e jωt dt = 2πδ (ω ) ∞

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非周期信号的分解—— ——傅里叶变换 3.4 非周期信号的分解——傅里叶变换7.虚指数函数 的无时限信号， 虚指数函数 e jω0t 是具有虚指数 jω0t 的无时限信号，由傅里 叶变换定义式可知， 叶变换定义式可知，

F e

{

jω0 t

}

=∫ e ∞

∞

jω0 t

e

jω t

dt = ∫ e ∞

∞

j (ω ω0 )t

dt

= 2πδ (ω ω0 )

8.高斯脉冲 高斯脉冲或称钟形脉冲它的表达式为f (t ) = Ae t τ 2

( ∞ < t < ∞ )∞

其

F ( jω ) = ∫

∞

f ( t )e

jω t

dt = A∫ e ∞

∞

t τ

2

e jωt dt上一页 下一页 返回

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非周期信号的分解—— ——傅里叶变换 3.4 非周期信号的分解——傅里叶变换9.阶跃信号 单位阶跃信号 ε ( t ) 可用直流信号和符号函数表示如下ε (t ) =1 1 + sgn(t ) 2 2

由此可确定其频谱密度函数为

F {ε (t )} = πδ (ω ) +

1 jω

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