(完整版)圆锥曲线方程知识点总结

§8.圆锥曲线方程 知识要点

、椭圆方程.

1.椭圆方程的第一定义: PF 2

2a PF 2

2a PF 2 2a PF 1 PF 1 PF 1 ⑴①椭圆的标准方程: i. 中心在原点, 焦点在 F 1F 2方程为椭圆,

F 1F 2无轨迹, F 1F 2以F 1,F 2为端点的线段 x 轴上：兰 a 2 2 y 1(a b b 2 ( 0). ii. 中心在原点,

焦点在 2 y 轴上：_L 2 a 2

右 1(a b

0).

②一般方程：Ax 2 By 2 1(A 0, B 0). ③椭圆的标准方程: 2 2

笃爲1的参数方程为 a 2 b 2

x a cos y b sin （一象限 应是属于0 ②轴：对称轴：x 轴， y 轴；长轴长 ③焦点：(c,0)(c,0)或(0, c)(0, c).

④焦距：F 1F 2 2c, c 2 a b 2 . 2 2

⑤准线：x —或y a

c c

⑥离心率：e -（0 e

a 1).

⑦焦点半径：

2 2

i.设P （x 0,y °）为椭圆务 y 1(a b a b 2 2 2

ii.设 P （x 。,y 。）为椭圆-y y 2 1(a b

b 2 a 2 由椭圆第二定义可知：pF 1 e （x 0 ^） ⑵①顶点：（a,0）（0, a b)或(0, a)( b,0).

c 注意：椭圆参数方程的推导：得 N （acos 2a ，短轴长2b. 0）上的一点，F 1F2为左、右焦点，则 0）上的一点，F 1T2为上、下焦点，则 ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经 ⑶共离心率的椭圆系的方程： 2 X 2 a 2 2 t(t 是大于 b 2 0的参数，a ⑸若 PF 1

PF 1 ex )(X 0 0), pF ? e(— x °) a(x ° 0)归结起来为 c ,bsin ) 方程的轨迹为椭圆. 2 2 .2 2b / b b 、 厂(c,)和(c,) a a a 2 椭圆一 2 a

.坐标: 2 7 1(a b 0）的离心率也是 2

葺1上的点.F 1,F 2为焦点，若 b

余弦定理与 PF j |PF 2 2a 可得）. ex o , PF 2

ey o , PF 2

左加右减”. 0）的离心率是e -（c -a 2 b 2）,方程 a -我们称此方程为共离心率的椭圆系方程 a F 1PF 2 若是双曲线，则面积为 b 2 a ex 。 a ey o ，贝U PF 1F 2的面积为b 2tan?（用 cot — 2

|PF i 1 1 PF 2 2a F 1F 2方程为双曲线 1.双曲线的第疋乂： | PF 1 1 1 PF 2 2a

F 1F 2无轨迹 PF 1 1 1

PF 2 2a F 1F 2以F 1,F 2的一个端点的一条射线 2 2

2 2 ⑴①双曲线标准方程：—

2 y 2 1(a,b 0), y 2 2 1(a,b 0). a b a b 一般方程：A X 2 2 Cy 2 1(AC 0). N 的轨迹是椭圆 ⑵①i. 焦点在x 轴上:

二、双曲线方程.

顶点: (a,0),( a,0)焦点: 准线方程 ii. 焦点在y 轴上: 顶点: (0, a), (0, a).焦点: (0,c), (0, c). 准线方程: x a sec 亠 或 y b tan ②轴x, y 为对称轴，实轴长为 2a,虚轴长为2b ，焦距

参数方程: x b tan y a sec ③ 离心率e -

a

④ 准线距空I c （两准线的距离）； 通径 2b 2 ⑤参数关系c 2

a 2

b 2,e - a ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程 x a

渐近线方程：- c a 2 —.渐近线方程: c 2c. _ (bcos ,bsin ) \(acos ,asin ) （F I ,F 2分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）

⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲 2 2 2 2 2 2 线匕 与L - 2 .2 丿 2 , 2 a b a b 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线: ⑸共渐近线的双曲线系方程: 2 2 2 务葺 （0）的渐近线方程为岂 a b

a 鼻L 0 2 , 2 a

b 2

与 0如果双曲线的渐近线为

( 0).

3

x 丄0时，它的双曲线方程可设为

a b

例如：若双曲线一条渐近线为 2 X a 2 1 -x 且过 2 2 y_ P (3, i 2）， 求双曲线的方程? 2 解：令双曲线的方程为： — 4 ⑹直线与双曲线的位置关系： 无切线，2条与渐近线平行的直线，合计 2条； 即定点在双曲线上， 1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计 3 条; 2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计 4条； 即定点在渐近线上且非原点， 1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计 即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线

1?过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有 2?若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入 交

和两根之和与两根之积同号 ? 2 2 ⑺若P 在双曲线筈与1，则常用结论 a b 1:从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于

区域① 区域② 区域③ 区域④ 区域⑤ 小结： 0），代入（3,

3 3 2 y- 1. 2 2条; 0、2、3、

4 条.

“”法与渐近线求 b. 2: P 到焦点的距离为 m = n ,贝U P 到两准线的距离比为 m : n.简证: d 1 d 2 PF 1 _e_ PF ! e

2

三、抛物线方程

注：①

2 顶点（時护

③通径为2p ，这是过焦点的所有弦中最短的

④y 2 2px （或x 2 2py ）的参数方程为

② y 2 2 px(p

0)则焦点半径

PF | x

P ； x 2

2py(p

0）则焦点半径为PF

x 2pt2(或x 2

Pt y 2pt y 2

pt2（t为参数）

2