Ch3_4最佳一致逼近

3.最佳一致3逼近项式3.3.多1本概念及其理基论最佳致一近问题逼切(雪比逼夫问题近)的提出: 设 数 函 f (x) C [ a , b ] 在 H n, x( ) s a np{ 1 x , , , x }n中 求P n( x,)使 其 差误*

| | f n P| | m xa| f ( x ) n (Px ) | im |n| f P |n| ** x baP n Hn

义：定P设 (x) H n ()x, f ()x C a[ b], ,称n ( f, P ) || f P| | m ax |f x( ) P(x) n| nn a x bf为 x(与P )( x)在 [, ab上]偏差的n f( Pn,) , 0 (f , nP) 的全 体 构 成一个 集 合{ ( f , P )n} 若该记合集的确界为E 下n in f { ( f , Pn)} i n f a x |m f( x) p n ( x)|P n H n

则称其 为 f ( x ) 在 [ a b, ] 上 最 的小 差 偏。

f(x ) [C a b,], 若 存 在 P n ( ) x H* P* nH

(nx) 使 ( , fn P ) n 则 称EP n( )x为 f ( x )n

[ a在, b 上]的 最 佳 致一 逼 近 多项式

。意注定,并未说明最佳义近多项式逼否是存在, 可以证明下面的存但在理定. 理定 4 : f (x ) C [ a b ],, 存总 在Pn ( x ) Hn ( )x*使

f ( x ) Pn( x

) E

nnE nfi{ ( f , P )} inn mfxa f (| ) xP (nx )| n PH n nP H n a x b

偏.差点定义f ( x C) a[ ,b],P ( x ) H n (x 若在)x 0x上有n *

| P x( 0) f ( x0 ) |ma x | ( xP ) ( f)x | a x b

称x就0P是 ( x) 的差点。偏

若点 若P x( ) 0 f( x0) ,

x0为“称正偏”差 x0称“为”偏差负点.P( 0 )x ( xf 0) ,

由函数P于 (x) f x()[ a,在b] 连上，续此因， 至少存一在个x点0得使 |P (x0 ) f ( 0x) |

补充理定若P ( x )Hn 是 f( x C ) a[ , b ]的最 佳 一致 逼 近 多 项式 ，则P x ( ) [ a 在, ]上b同 时 在 存 正负 偏差 点 。 证明：由于P ( x )是f ( x ) C a , b ]的 最 佳 [一致 逼近 项 多式 ， 即 ( f ,n )P E 则 P ( x n )必存 在 偏 差 点 E n

*

即 || nP f|| m a x|P n( x ) (fx )| E nx a [ ,b ]

用反法.证设只假有偏差正。点 于是 对x a[, b 有]P ( xn ) f ( ) x E

n因 为 nP (x) f ( ) 在x[ a b ],上连 续， 故有 最 小值 不妨 设 E为n 2 ( 0 ) 于 大 E n

于是对 一 切 x [ a, b ]都 有 n E2 P (n x ) ( x f) En

En ( P n( x) ) f( x )E n

( |P n ( x ) ) f ( x |) E n 说 明P n( x ) 与 f( x ) 的偏 小 差于E n 与前提条,矛盾。件

定理5P(:x) f 是 x)(最佳一的逼近致多式项的充 要件是P条( )x在 a, b]上至少[n 有 2个轮流为 “”“正”负的偏差点，

即有 n 2个 点a x1 x 2 xn 2 b ,

使 ( x P k f) (x k) ( 1 ) ||P ( x ) f (x |)| , k1

满足 件条 ( P kx ) f( xk) ( )1 || P (x ) f ( x ) | |k的 点 组 { xk } 成 为 C hb esh eyve 交错 点 组

切比雪夫理说明用定Pn ( x)逼f 近x)(的误差曲是均线 分布的匀y y y ( x ) E y n n P (x y) y( x) y y ( x) En

x0

推论：f若( x ∈)C a,[ ],b则H在 中n存唯在一的最 逼佳近 项式多定理6:在区间-1,[]上1有最高所项次系数 1的为次多n项式中 , n x( ) 21n 1n (T )x与的零差偏最，小其差偏

为 12 n

1证明：

于由 n x)(

12 n 1T ( x n) x

n

Pn 1 ( x -)*

1 x 1

m ax | n x( )|

12 n 1| T (nx )| 1 2n 1即可以解理 f 为 x( ) pn 1 ( x )*与的偏零差于等小最当且当仅 f ( )x pn 1 x() ( n x )*12 n 1 Tn (x ) 例

设 ：它为使 ：解所求f( x ) 4 x 2 x x 312

试在[ 1-,1] 寻上一找次个数超过不的2项式多f(x p) 2()x*

2p( )x

*在[-1,1 ]上 最佳的致逼近一项多。 由式最小偏定理* 2差

满足应 x 11max| (f x) p(x | ) mi

fn x( )的 首项系为数 4 14 [ f x() p ( )]x *2

1 22

3T (x )31 4

( x 43 x )3

从而p ( x )f () x (4 x x)3 2 x 4x 1 *2 2

例:

f ( x求) x4

3 x3

1

[0,1] 上在三求最次逼佳多近项式。 :令解t 2 x 1 f () x ( t f12 t [ ,11

则]当 3( x [ 0,1

)] (

t 12)

4

t 1

)2 13

设p (x)为 f ( x )

* 3

在0[,] 1上三次的佳最一致近逼项式多，由于

(f

1 2t

的)相首数为系

214故有

16[ f ( t 1 2 ) (p* 3

t 1 2 )] 2

4 1

T14 ( )t

3p ((

*

t 21) f (

t 1 2)

1 16 *8 1 T4( ) 4 (8 t

t4 1 2

) (34

t 12 ) 1 3 t8

2

1) 16* 8

从 而p (3 x) ( x *4

3

x

2 )1 2

1 16 *8 [8 ( x2 1)4

( 2 x8 1) ]

1 x5

35 4

2

x

41

x 291 18

2

佳最次一近多项逼切比式夫定理 雪出给了最佳逼近多项式Px()的特 ,但要性求P出x()却当相难困 .面讨下论 =n1的情. 假定f(形)∈xC2[, a]b .且f"(x) 在a(,b)内变号，不们我要求佳一次最近多 项式 P1逼x()a0 = +1xa 少至3有个点a≤1xx<<x23≤,b使ka x b P( x k) f( x )k ( 1 ) mxa |P ( x )f ( x) | 11f x )(( = 1 k, 1,2,3 )f ( ) x a 1 由 在于a[ ,b上]变号不故 f , x ( 单调, 在(a),b 内只有一)零点,记个x2为于,是

是即于P (x 2 )f ( x2 ) 1a f( x )2 01 1)(

f( x )2 a 1

另两个外偏点差必定区间是端点的x 1 a ,x 3

b此得到由 a 0a1 a f (a

) a 0 a1 f bb( ) a 0 a1a f (a ) f ( 2 x ) (a 0 a1 x 2

)(1由)得式

a1

f () f ( ba) b a

f' (2 x)

入到(代)得a0 2f( ) a f ( x2) 2 f ( b f) (a() a x 2 b ) a2这就得到最一次逼佳近多项式P(1),其x方为y 程1 [2f (a) f (x2 ) ] a1 ( x a x2 )2

例设

f( x) [a b],m, M 是 (x) f在[a , ]b上 的mni ,m ax值 f则( x) 的零次 最佳一逼近致多项为式 px( ) 0*12

( m M ),证明：

由 f(x)使 得令的连性知 续 x1 , 2 x [ a , b ]

(f x1 ) mp0 (x) 1 2 (xf2) (Mm M

)则f ( 1x ) 0p( x 1 ) m

21

(m M )

1 2

(M m )

fx(2 ) p0 x2( )M 21

(m M) 12 1 2

(M )m即

mx

aa x b

|f (x ) p 0( )x| ,

M ( m)故 x1, x2 是

p0 x)(与 f ( )x的 偏点差，

从而 由hebcshyeve定理知i p() x 0*

21( m M ) p0 x()即当

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