大一高等数学复习题

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极限与连续总结复习课

（一）内容

1.极限：极限的定义，极限的四则运算，两个重要极限。无穷小的比较与等价代换。

2.连续函数：连续函数的定义和四则运算，间断点。连续函数的性质。

二）要求

1.了解极限概念，会求简单极限。会用两个重要极限和等价代换定理。

2.了解函数连续的概念，会判断函数的连续性，并会求函数的间断点；理解连续函数的运算和性质。

（三）知识网络图

1.函数的极限

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2.函数的连续性

（四）极限的思想方法

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极限思想在现代数学乃至物理学等学科中有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。借助极限思想，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从直线形认识曲线形，从量变认识质变，从近似认识精确。

无限与有限有本质的不同，但二者又有联系，无限是有限的发展。无限个数的和不是一般的代数和，把它定义为“部分和”的极限，就是借助于极限的思想方法，从有限来认识无限的。

“变”与“不变”反映了事物运动变化与相对静止两种不同状态，但它们在一定条件下又可相互转化，这种转化是“数学科学的有力杠杆之一”。例如，要求变速直线运动的瞬时速度，用初等方法是无法解决的，困难在于速度是变量。为此，人们先在小范围内用匀速代替变速，并求其平均速度，把瞬时速度定义为平均速度的极限，就是借助于极限的思想方法，从“不变”来认识“变”的。

曲线形与直线形有着本质的差异，但在一定条件下也可相互转化，正如恩格斯所说：“直线和曲线在微分中终于等同起来了”。善于利用这种对立统一关系是处理数学问题的重要手段之一。直线形的面积容易求得，求曲线形的面积问题用初等的方法是不能解决的。刘徽用圆内接多边形逼近圆，一般地，人们用小矩形的面积来逼近曲边梯形的面积，都是借助于极限的思想方法，从直线形来认识曲线形的。

量变和质变既有区别又有联系，两者之间有着辩证的关系。量变能引起质变，质和量的互变规律是辩证法的基本规律之一，在数学研究工作中起着重要作用。对任何一个圆内接正多边形来说，当它边数加倍后，得到

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的还是内接正多边形，是量变而不是质变；但是，不断地让边数加倍，经过无限过程之后，多边形就“变”成圆，多边形面积便转化为圆面积。这就是借助于极限的思想方法，从量变来认识质变的。

近似与精确是对立统一关系，两者在一定条件下也可相互转化，这种转化是数学应用于实际计算的重要诀窍。前面所讲到的“部分和”、“平均速度”、“圆内接正多边形面积”，分别是相应的“无穷级数和”、“瞬时速度”、“圆面积”的近似值，取极限后就可得到相应的精确值。这都是借助于极限的思想方法，从近似来认识精确的。

（五）典型复习题 32y x1．函数的连续区间是 。 x

A．x ( ,0) (0, ) B．x [ 1,1]；

C．x [ 1,0) (0,1]； D．x ( , 1] [1, ) 2．数列2345， 的极限是( 3456 )

n 1

A. 0 B. 1 C. n 2 D.不存在

3.若函数f(x)在点x0处的极限存在，则_____.

A．f(x)在点x0处的函数值必存在且等于极限

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值；

B．f(x)在点x0处的函数值必存在，但不一定等于极限值；

C．f(x)在点x0处的函数值可以不存在；

D．如果f(x)在点x0处的函数值存在的话，一定等于极限值。

121 x是(1 x)x 14．当时，的 2

无穷小。

5．函数y x在x 0处。

A．无极限但连续； B．无极限且不连续；

C．有极限但不连续； D．有极限且连续 x 9y 6. x 3的可去间断点是。

7.计算下列极限 2

x 5 lim (1) x x x5e 1lim (2) x 0tanx x

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1xsin2x 3x 4limlim(3) x 0sinx (4) x 1x2 1 xx sinx x 3 limlim (5) x x (6) x 0x sinx 2

(7) x limarctan2 lim 1 x (8)x 4 x 1

y ln(x 2)8．函数的连续区间 是 。

9. 求极限： 4 ln(1 2x)limln1 lim(1)x x (2) x 0x x