第2章工业机器人运动学2013

第2章 工业机器人运动学§ 2.1 工业机器人位姿描述1. 点的位置描述 如图2-1所示,在直角坐标系

{A}中,空间任一点P的位置可用(3×1)的位置矢量AP表示为(2.1) 图2-1 点的位置描述

其中, px、 py、pz是点P的三个位置坐标分量。

第2章 工业机器人运动学2. 点的齐次坐标如用四个数组成的(4×1)列阵表示三维空间直角坐标系

{A}中点P, 则该列阵称为三维空间点P的齐次坐标, 如下:

(2.2)

齐次坐标并不是惟一的, 当列阵的每一项分别乘以一个 非零因子ω 时, 即

第2章 工业机器人运动学

(2.3)

其中:a=ωpx, b=ωpy, c=ωpz。该列阵也表示P点,齐次 坐标的表示不是惟一的。

第2章 工业机器人运动学3. 坐标轴方向的描述 如图，用 i 、 j 、 k 来表示直角坐标系中 X 、 Y 、 Z 坐标轴

的单位向量, 用齐次坐标来描述X、Y、Z轴的方向, 则有

规定:①列阵[a b c 0]T中第四个元素为零,

且a2+b2+c2=1, 表示某轴(或某矢量)的方向;

图2-2

坐标轴方向的描述

②列阵[a b c ω]T中第四个元素不为零, 则表示空间某点的位置。

第2章 工业机器人运动学例如, 在图2-2中, 矢量v的方向用(4×1)列阵表示为

其中: a=cosα , b=cosβ , c=cosγ 。 当α=60°, β=60°, γ=45°时, 矢量为

第2章 工业机器人运动学4.动坐标系位姿的描述就是用位姿矩阵对动坐标系原点位

置和坐标系各坐标轴方向的描述。该位姿矩阵为 (4×4)的方阵。如上述直角坐标系可描述为:

(2.4)

第2章 工业机器人运动学5. 刚体位姿的描述 机器人的每一个连杆均可视为一个刚体, 若给定了刚体 上某一点的位置和该刚体在空中的姿态, 则这个刚体在空间 上是唯一确定的, 可用唯一一个位姿矩阵进行描述。 如图2-3所示, 设O′X′Y′Z′为与刚体Q固连的一个坐标系, 称为动坐标系。 刚体Q在固定坐标系OXYZ中的位置可用齐 次坐标形式表示为:

图 2-3 刚体的位置和姿态描述

第2章 工业机器人运动学令n、o、a分别为X′、 Y′、 Z′坐标轴的单位方向矢量, 即

刚体的位姿表示为(4×4)矩阵:

第2章 工业机器人运动学例1 如图表示连于刚体的坐标系{B}位于OB点，xb=10,yb=5,zb=0。ZB轴与画面垂直，坐标系{B}相对固定坐标系 {A}有一个30°的偏转，试写出表示刚体位姿的坐标系{B}的 (4×4)矩阵表达式。解：XB的方向阵列：n=[cos30° cos60° cos90° 0]T=[0.866 0.500 0.000 0]T YB的方向阵列：o=[cos120° cos30° cos90° 0]T=[-0.500 0.866 0.000 0]T ZB的方向阵列：a=[0.000 0.000 1.000 0]T 坐标系{B}的位置列阵：p=[10.0 5.0 0.0 1]T 所以坐标系{B}的(4×4)矩阵表达式为： YB (xb,yb,zb) OB {B} XB 30°

YA {A} OA XA

第2章 工业机器人运动学6. 手部位姿的描述机器人手部的位姿如图2-4所示, 可用固连于手部的坐标

系{B}的位姿来表示。坐标系{B}由原点位置和三个单位矢量惟一确定, 即: (1) 原点: 取手部中 心点为原点OB; (2) 接近矢量: 关节 轴方向的单位矢量 a; (3) 姿态矢量: 手指 连线方向的单位矢 量o ; (4) 法向矢量: n为 法向单位矢量, 同 时垂直于a、o矢量, 即n=o×a。

图 2-4 机器人手部的位置和姿态描述

第2章 工业机器人运动学手部位姿矢量为从固定参考坐标系OXYZ原点指向手部坐标系{B}原 点的矢量p ,手部的方向矢量为 n 、o 、a 。手部的位姿可由(4×4)矩阵表 示:

(2.5)

第2章 工业机器人运动学例2 图表示手部抓握物体Q,物体为边长2个单位的正立方体， 写出表达该手部位姿的矩阵式。解：因为物体Q形心与手部坐标系O’X’Y’Z’ 的坐标原点O’相重合，所以手部位置的(4× 1) 列阵为P=[1 1 1 1]T

Z

o nO’

手部坐标系X’轴的方向可用单位矢量n来表示：n: α =90°,β =180°,γ =90° nx=cosα=0; ny=cosα=-1; nz=cosα=0

Y’Q Y

a X’ Z’ X

同理，手部坐标系Y’与Z’轴的方向可分别用单位 矢量o和α 来表示。手部位姿可用矩阵表达为：

第2章 工业机器人运动学7. 目标物位姿的描述任何一个物体在空间的位置和姿态都可以用齐次矩阵 来表示, 如图2-5所示。楔块Q在(a)图的情况下可用 6个点 描述,

图 2-5 目标物的位置和姿态描述

第2章 工业机器人运动学(2.6)若让其绕 Z 轴旋转 90 ° , 记为 Rot(z,90 ° ); 再绕 Y 轴旋转 90 ° , 即

Rot(y,90°), 然后再沿X轴方向平移4,即Trans(4, 0, 0), 则楔块成为(b)图位姿, 其齐次矩阵表达式为

用符号表示对目标物的变换方式可以记录物体移动的过程, 也便于 矩阵的运算, 所以应该熟练掌握。

第2章 工业机器人运动学§ 2.2 齐次变换及运算一. 平移的齐次变换 如图2-6所示为空间某一

点在直角坐标系中的平移 ,由A(x, y, z)平移至A′(x′, y′, z′), 即

(2.7) 或写成：

图2-6 点的平移变换

第2章 工业机器人运动学(2.8)

记为: a′=Trans(Δ x, Δ y, Δ z)a 其中,Trans(Δx, Δy,Δz)称为平移算子,Δx、Δy、Δz分别 表示沿X、Y、Z轴的移动量。 即: (2.9)

第2章 工业机器人运动学注:① 算子左乘 : 表示点的平移是相对固定坐标系进行的坐

标变换。② 算子右乘 : 表示点的平移是相对动坐标系进行的坐标 变换。 ③ 该公式亦适用于坐标系的平移变换、 物体的平移变换, 如机器人手部的平移变换。

第2章 工业机器人运动学例3:有下面两种情况(如图2-7),动坐标系{A}相对于定

坐标系的X0、Y0、Z0轴作(-1,2,2)平移后到{A’};动坐标系{A}相对于自身坐标系(即动系)的X、Y、Z轴分别 作(-1,2,2)平移后到{A”}。已知：Z0 X’{A ’} Y {A}” Z X

Y’ Z’

X

Y” {A”} Y0 Z”

X0

图2-7 坐标系的平移变换 试写出坐标系{A’}、{A”}的矩阵表达式。

第2章 工业机器人运动学解：动坐标系{A}的两个平移坐标变换算子均为

{A’}坐标系是动系{A}沿固定坐标系作平移变换得来

的，因此算子左乘，{A’}的矩阵表达式为-1 2 2 2

第2章 工业机器人运动学{A”}坐标系是动系{A}沿自身坐标系作平移变换得

来的，因此算子右乘，{A”}的矩阵表达式为

经过平移坐标变换后，坐标{A’}、{A”}的实际情 况已图解在图2-7中。

第2章 工业机器人运动学二. 旋转的齐次变换 点在空间直角坐标系中 的旋转如图2-8所示。A(x, y, z)绕Z轴旋转θ y′, z′ ), A′( x′, A与A′之间的关系为

(2.10)

图2-8 点的旋转变换