2.2.1第二版 椭圆及其标准方程教学设计 - 副本

教材版本：人教B版

课题：2.1.1椭圆及其标准方程（第一课时）

房山中学 丁兆荣

授课班级：高二十班（文科班） 课型：新授课 一、 教学目标

(1) 通过实例,了解椭圆的实际背景,感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用;

(2) 通过亲自动手画图,定性地画出椭圆,再通过坐标法定量地描述椭圆,进而从感性到理性抽象概括,形成概念,归纳出椭圆的定义.

(3)能根据椭圆的几何特征 ,建立适当的平面直角坐标系,会用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素;

(4)经历椭圆方程的化简,在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力,并体会数学的简洁美和对成美.

（5）能够运用椭圆定义及标准方程解决一些简单问题. 二、教学重点、难点

（1）教学重点：掌握椭圆的定义及椭圆标准方程，理解坐标法的基本思想. （2）教学难点：椭圆标准方程的建立和推导。 三、教学过程 (一) 椭圆的定义

多媒体演示嫦娥二号绕地球的运行录像 ，描绘出运行轨迹 。 问题1 嫦娥二号绕太阳旋转的轨迹是什么图形？ （椭圆）让学生再列举一些椭圆形的例子 设计意图

让学生意识到椭圆在现实生活中是很常见的，学习椭圆的有关知识是十分必要的。

问题2 动点按照某种规律运动形成的轨迹叫做曲线，那么椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢？

1.我们以前学习过圆,请同学们回顾一下圆的定义 2.我们是怎样画圆的呢?请同学们画画看。 3.“圆是动点P到 定点O的距离为常数的点的轨迹”说成“圆是动点P到 定点O的来回距离之和为常数的点的轨迹”，行不行？ 4．（课前教师要求学生每人准备一块硬纸板，并发给每一位学生两颗图钉及一根定长绳子）

现在把这根绳子的两端分别系在两颗图钉上，并分别固定在两个点上，并保持拉紧状态移动铅笔，请画一画会是什么样的曲线？（先多媒体演示，再让学生去画）。 问题： 在绳长 (设为 2 a ）不变的条件下，

（1）当两个图钉重合在一点时，画出的图形是什么？ （2）改变两个图钉之间的距离，画出的图形是什么？

（3）当两个图钉之间的距离等于绳长时，画出的图形是什么？

（4）当两图钉固定，能使绳长小于两图钉之间的距离吗？能画出图形吗？ 问题3 根据上面的作图实践，你能说出移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么吗？

设计意图

尝试探究，形成概念。

启发、提问、归纳出椭圆的定义：把平面内到与两个定点F1,F2距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫椭圆（ellipse）。(教师指出 )这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。 （二）建立椭圆的标准方程

问题4 求曲线方程的一般步骤是什么？ 设计意图

创设学生熟悉的问题情境，运用探索讨论法进行教学 问题5

如何建立坐标系?

将各组学生的讨论方案归纳起来评议，选定以下两种方案，由各组学生自己完成. 方案一

方案一

1. “建”系：以两定点F1 、F2 的连线为 x 轴，以线段 F1 F2 的垂直平

分线为y轴， 建立坐标系，如图1 2. “设”点：

设M ( x , y ) 为椭圆上任意一点，| F1 F2 | = 2 c (c>0) ，则有F1（－c, 0）、F2 (c ,0). 又设 M与F1 和F2 的距离的和等于常数 2 a ( a > 0 ) . 3. “限”（列式）：P M||MF1| |MF2| 2a (几何条件）

22

y2 x c） y2 2a（实现几何条件代数化） 4．“代”入：(x c）

师生共同到第4步 ，接着由学生试着进行化简，然后由学生进行实物投影展

示。

得到 (a 2 － c 2 ) x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 － c 2 )，

x2y2

进一步得2 22 1

aa c

这是本堂课的难点所在，通过课堂精心设问来突破难点。

问题6

（1）化简含有根号的式子时，我们通常怎么处理？

让学生明确含根号的等式化简的目的就是要去掉根号，变无理式为有理式。 （2）如何将含有两个根式的等式化成含有一个根式的等式？

学生通过实践，发现对于这个方程，直接平方不利于化简，而移项后再平方，最后能得到圆满的结果。 方案二 以两定点F1 、F2 的连线为 y 轴，以线段 F1 F2 的垂直平分线为x 轴，建立坐标系由学生完成方程化简过程，a2x2 (a2 c2)y2 a2(a2 c2)

y2x2

进一步得2 22 1

aa c

相比之下，其他方案的建系方式得到的方程更复杂。事实上，此方程形式也不

够简洁，还有变形的必要。

问题7

观察图，你能从中找出表示a,c的线段吗？

222222

|MF1| |MF2| a 因|OF1| c 则，a c |MO| 不妨令a c b，联想到直

x2y2

线的截距式方程，方程①②可化为2+2=1（a b 0）③

aby2x2

+=1（a b 0）④， a2b2

刚才只是从“曲线的方程”角度推到了符合定义的点的坐标满足的方程，还要从“方程的曲线”的角度说明以方程的解为坐标的点都在曲线（椭圆）上，这个问题留给学生课后完成。我们把③④称为椭圆标准方程 (三)对标准方程的理解

问题8 你能谈谈对椭圆标准方程的认识吗?

1、观察椭圆图形及其标准方程，师生共同总结归纳

（1）椭圆标准方程对应的椭圆中心在原点，以焦点所在轴为坐标轴； （2）椭圆标准方程形式：左边是两个分式的平方和，右边是1； （3）椭圆标准方程中三个参数a,b,c关系：b2 a2 c2(a b 0)； （4）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定；

（5）求椭圆标准方程时，可运用待定系数法求出a,b的值。 2、在归纳总结的基础上，填下表

([例1].判断下列各椭圆的焦点位置，并说出焦点坐标、焦距以及a,b的值（口答）

x2y2x2y222① 2 2 1 ②2 ③ 3x 4y 1 12

434( 3)

设计意图

巩固了两种形式的标准方程，强调了a,b,c三者之间的关系

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例2.已知椭圆两个焦点的坐标分别为( 2,0),(2,0)，并且经过点(,)；求它的标

22

准方程. 设计意图

使学生体会椭圆定义在解题中的重要作用. 问题10

你还能用其他方法求它的方程吗?哪种方法简单?你有什么体会? 设计意图

使学生体会一题多解,学会用待定系数法求椭圆标准方程.待定系数法求椭圆标准方程的步骤是:定类型、设方程、求系数，其本质是运用方程思想求的值。椭圆定义的应用可使运算更简单。

（五）课堂小结（由学生归纳，教师完善） 1. 椭圆的定义（注意定义中的三个条件）

2. 椭圆的标准方程（注意焦点的位置与方程形式的关系） 3. 解析几何的基本思想：

代数化

用代数方法来解决解析几何问题：椭圆的定义 椭圆的标准方程

思考题：将圆上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半 ，试说明所得的曲线是 一个椭圆。