第14讲 乘法公式(含答案)

【黄冈竞赛零距离】七年级数学培优、竞赛二合一讲练教程(共15讲,含答案)

（14）乘法公式

【知识精读】

1． 乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。

公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。

公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。

2． 基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。

完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2,

平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2

立方和（差）公式：(a±b)(a ab+b)=a±b

3.公式的推广：

① 多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd

即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。

② 二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3

(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）

（a±b）=a±5ab+10ab±10ab＋5ab±b）

注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律

③ 由平方差、立方和（差）公式引伸的公式

（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4

(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5

(a+b)(a－ab+ab－ab+ab－b)=a－b

注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律

在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数

(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－ ＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n

(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－ －ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1 543223456655432 23452233

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类似地：

（a－b）(an－1+an－2b+an－3b2+ ＋abn－2+bn－1)=an－bn

4. 公式的变形及其逆运算

由（a+b）=a+2ab+b 得 a+b=(a+b)－2ab

由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)

由公式的推广③可知：当n为正整数时

an－bn能被a－b整除,

a2n+1222222+b2n+1能被a+b整除,

a2n－b2n能被a+b及a－b整除。

【分类解析】

例1. 己知x+y=a，xy=b。

求： ①x+y ②x+y ③x+y ④x+y

解： ①x2+y2＝(x+y)2－2xy＝a2－2b

②x3+y3＝(x+y)3－3xy（x+y）＝a3－3ab

③x4+y4＝(x+y)4－4xy（x2+y2）－6x2y2＝a4－4a2b＋2b2

④x5+y5＝（x+y）(x4－x3y+x2y2－xy3+y4)

=(x+y)［x4+y4－xy(x2+y2)+x2y2］

=a［a－4ab+2b－b(a－2b)+b］

＝a5－5a3b+5ab2

例2. 求证：四个連续整数的积加上1的和，一定是整数的平方。 4222222334455

证明：设这四个数分别为a, a+1, a+2, a+3 (a为整数)

a(a+1)(a+2)(a+3)+1=a(a+3)(a+1)(a+2)+1=(a2+3a)(a2+3a+2)+1

=(a+3a)+2(a+3a)+1=(a+3a+1)

∵a是整数，整数的和、差、积、商也是整数

∴a2+3a+1是整数 证毕

例3. 求证：2222＋3111能被7整除

22222

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证明：2222＋3111＝（2）2111＋3111＝4111＋3111

根据 a2n+1+b2n+1能被a+b整除，（见内容提要4）

∴4111＋3111能被 4＋3整除

∴2222＋3111能被7整除

例4. 由完全平方公式推导“个位数字为5的两位数的平方数”的计算规律 解：∵(10a+5)=100a+2×10a×5+25=100a(a+1)+25

∴“个位数字为5的两位数的平方数”的特点是：幂的末两位数字是底数个位数字5的平方，幂的百位以上的数字是底数十位上数字乘以比它大1的数的积。

如：152=225 幂的百位上的数字2=1×2)， 252=625 (6=2×3)，

35=1225 (12=3×4) 45=2025 (20=4×5)

【实战模拟】

1． 填空：

①a2+b2=(a+b)2－_____ ②(a+b)2=(a－b)2+___

③a3+b3=(a+b)3－3ab(___) ④a4+b4=(a2+b2)2－____

,⑤a5+b5=(a+b)(a4+b4)－_____ ⑥a5+b5=(a2+b2)(a3+b3)－____

2． 填空：

①(x+y)(___________)=x－y ②(x－y)(__________)=x－y4444 2222

③(x+y)( ___________)=x5+y5 ④（x－y）(__________)=x5－y5

3.计算：

①552= ②652= ③752= ④852= ⑤952=

4. 计算下列各题 ，你发现什么规律

⑥11×19= ⑦22×28= ⑧34×36= ⑨43×47= ⑩76×74=

5.已知x+

1x=3, 求①x2+1x2 ②x3+1x3 ③x4+1x4的值.

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6.化简：①（a+b）(a－b)22

②(a+b)(a2－ab+b2)

③(a－b)((a+b)3－2ab(a2－b2)

④(a+b+c)(a+b－c)(a－b+c)(－a+b+c)

7.己知a+b=1, 求证：a3+b3－3ab=1.

8.己知a=a+1，求代数式a－5a+2的值.

9.求证：233＋1能被9整除.

10.求证：两个连续整数的积加上其中较大的一个数的和等于较大的数的平方.

11．如图三个小圆圆心都在大圆的直径上，它们的直径分别是a,b,c.

① 求证：三个小圆周长的和等于大圆的周长

② 求：大圆面积减去三个小圆面积和的差。

参考答案 25

4. 十位上的数字相同，个位数的和为10的两个两位数相乘，其积的末两位数是两个个位

数字的积，积的百位以上的数是，原十位上数字乘上比它大1的数的积

8. n(n+1)+(n+1)=(n+1)2

9. ①可证明3个小圆周长的和减去大圆周长，其差等于0 ②

2(ab+ac+bc)