2009_-2010第二学期概率论 期末考试试卷及答案

北京交通大学 2009_-2010第二学期概率论 期末考试试卷及答案

北 京 交 通 大 学

2009-2010学年第二学期《概率论与数理统计（B）》期末考试试卷（A）

学院_____________ 专业___________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________

请注意：本卷共十三大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！ 一.（满分6分）已知P A

111

，P BA ，P AB ，求P A B 。 432

解： 由概率加法公式P A B P(A) P(B) P(AB)

由概率乘法公式P AB P(A)P(BA)

1

----3分 12

P B

P(AB)1

P(AB)6

1111 ----3分 46123

P A B P(A) P(B) P(AB)

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二. （满分8分）根据以往的考试结果分析，努力学习的学生中有90%的可能考试及格，不努力学习的学生中有90%的可能考试不及格．据调查，学生中有90%的人是努力学习的，试问：

⑴ 考试及格的学生中有多大可能是不努力学习的人？ ⑵ 考试不及格的学生中有多大可能是努力学习的人？ 解：

设A 被调查的学生是努力学习的， B 被调查的学生考试及． 格

由题设，有 P A 0.9，P 0.1；PBA 0.9，P 0.9． 要求的概率为PB和PA．由Bayes公式，有 ⑴

PB

P P B P A PBA PPB

0.1 1 0.9 0.012195．----4分

0.9 0.9 0.1 1 0.9

⑵ PA

P A PA

P A PA PP

0.9 1 0.9 0.5----4分 0.9 1 0.9 0.1 0.9

三. （满分8分）设二维正态随机变量 X,Y 的边缘分布X~N 1,

4 ，Y~N 0,1 ，

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且相关系数 X, 解：

Y

0．求概率P X Y 1 ．

由于 X,Y 服从二元正态分布，且X与Y的相关系数 X,Y

0，得X与Y相互独

立

．

所

以

Z X Y

也服从

正

态

布． ————2分

E Z E X Y E X E Y 1 0 1

D Z D X Y D X D Y 4 1 5，———2分

所

以

Z X Y~N 1,5 ．P X Y 1 P X Y 1

1 5 0

0 2． ——4分

分

，

，

—

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四(满分8分) 设随机变量X与Y相互独立，其概率密度分别为

1,

fX x

0,

0 x 1， e y,

f y 其他，Y

0,

y 0,

其他.

求Z X Y的概率密度。 解： f(x,y) f e y0 x 1,y 0

X(x)fY y

其它

fx

e ( 0

z x)z x 0

Y z 0

z x 0

f e (z x) f0 x 1,z x 0

X(x)Y z x

0

其它

fZ z

fX x fY z x dx, 3分

⑴．若z 0，fZ z 0 ⑵．若0 z 1， zz fZz 1 e (z x)dx e z

exdx00

1 ⑶．若z 1，f (z x)

Z z

edx e z 1 e z 3分

0z 0

f Z z 1 e z0 z 1 2分

e z 1 e z

z 1

五(满分10分)设二维随机变量 X,Y 的联合密度函数为

----2分

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212

xyx2 y 1

f x，y 4

其它 0

⑴．求E X ，E Y 及E XY ； ⑵．分别求出X与Y的边缘密度函数；

⑶．判断随机变量X与Y是否相关？是否相互独立？ 解： ⑴．E X

xf x,

2121

y dxdy dx x3ydy x3 1 x4 dx 0

4 1x28 1

111

E Y

yf x,

21777

y dxdy dx x2y2dy x2 1 x6 dx x2 1 x6 dx

4 1x24 1209

217

y dxdy dx x3y2dy x3 1 x6 dx 0

4 1x24 1

——4分

1

1

1

1111

E XY

xyf x,

⑵．当 1 x 1时，

2122124

fX x f x，y dy xydy x1 x 4x28

所以，随机变量X的边缘密度函数为

1

212

x 1 x4 1 x 1

fX x 8 ；

0其它

当0 y 1时，

52173722

xydx yx y fY x f x，y dx 4 y220

y

y

所以，随机变量X的边缘密度函数为

5

72

fY y 2y

0

0 y 1 其它

——4分

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⑶．由于cov X,Y E XY E X E Y 0，所以X与Y不相关． f x,

y fX x fY y ，所以X与Y不独立．——2分

六（满分8分）设袋中有4只球，2红，1白，1黑。从中任取2只，以X表示取出红球数，

以Y表示取出白球数，Z |X Y|，

求（1）X和Z的联合分布律，（2）（X，Z）的边缘分布律，（3）Cov（X，Z）. 解: X 0,1,2,Y 0,1,

Z 0,1,2.

P{X 0,Z 0} P{X 0,Y 0} 0, P{X 0,Z 1} P{X 0,Y 1} 1/6, P{X 0,Z 2} P{ } 0,

P{X 1,Z 0} P{X 1,Y 1} 2/6, P{X 1,Z 1} P{X 1,Y 0} 2/6, P{X 1,Z 2} P{ } 0, P{X 2,Z 0} P{ } 0, P{X 2,Z 1} P{ } 0,

P{X 2,Z 1} P{X 2,Y 0} 1/6,

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---6分

Cov(X,Z) EXZ EXEZ,

EXZ 1, EX 1, EZ 5/6,所以Cov(X,Z) EXZ EXEZ 1/6.

---2分

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七．（满分8分）某商店按季节出售某种应时商品，每出售1公斤获利润100元，如到季末尚有剩余商品，则每公斤净亏损60元．又设该商店在季度内这种商品的出售量X（单位：公斤）是一个随机变量，且X服从区间 1000,的数学期望为最大，问该商店应进多少货？ 解： 随机变量X的密度函数为

上的均匀分布．为使商店所获利润2000

1

1000 x 2000

fX x 1000

其它 0

设该商店进货s公斤，Y是该商店所得利润，则有

100ss X

Y H X

100X 60 s X s X

即

s X 100s

Y H X

160X 60ss X

----4分

所以， E Y E H X

s

H x f x dx

X

11

160x 60sdx 100sdx 100010001000s

160100

80s2 80000000 s s 100 0 s 2000 s 100010001000

160100

80s2 80000000 s s 1000 s 2000 s 令：g s

10001000100080601004

2s 2s 60 200 2s 260 s 则g s

10001000100025

2000

令g s 0，得驻点s0 1625，并且可以判别s0 1625是函数g s 的最大值点，因此当该商店进货s0 1625公斤时，商 …… 此处隐藏：3464字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……