材料力学-第7章 弯曲变形

材料力学

第七章 弯曲变形

材料力学-第7章 弯曲变形引言 上一章中，我们对梁弯曲情况下的应力进行计算，并学习 了如何进行强度设计。在平面弯曲的情形下，梁的轴线将弯曲 成平面曲线。如果变形太大，也会影响构件正常工作。因此， 对机器中的零件或部件以及土木工程中的结构构件进行设计时， 除了满足强度要求外，还必须满足一定的刚度要求，即将其变 形限制在一定的范围内。为此，必须分析和计算梁的变形。 另一方面，某些机械零件或部件，则要求有较大的变形， 以减少机械运转时所产生的振动。汽车中的钣簧即为一例。这 种情形下也需要研究变形。 此外，求解静不定梁，也必须考虑梁的变形以建立补充方 程。

材料力学-第7章 弯曲变形引言

美国科罗拉多大峡谷著名的U形悬桥，距谷底1200多米，桥身全长约49米， 宽3米多，桥体自崖壁向外伸出21米。悬桥使用了454吨钢梁，能够抵御80 公里外发生的里氏8级地震以及最高速度为每小时160公里的大风。

材料力学-第7章 弯曲变形引言

机械传动机构中的齿轮轴，当变形过 大时 ( 图中虚线所示 ) ,两齿轮的啮合处将 产生较大的挠度和转角，这就会影响两个 齿轮之间的啮合，以致不能正常工作。 同时，还会加大齿轮磨损，同时将在 转动的过程中产生很大的噪声。 此外，当轴的变形很大时，轴在支承 处也将产生较大的转角，从而使轴和轴承 的磨损大大增加，降低轴和轴承的使用寿 命。

材料力学-第7章 弯曲变形引言

在工程设计中还有另外一类问题，所考虑的不 是限制构件的弹性位移，而是希望在构件不发生强 度失效的前提下，尽量产生较大的弹性位移。例如， 各种车辆中用于减振的钣簧，都是采用厚度不大的 板条叠合而成，采用这种结构，钣簧既可以承受很 大的力而不发生破坏，同时又能承受较大的弹性变 形，吸收车辆受到振动和冲击时产生的动能，收到 抗振和抗冲击的效果。

材料力学-第7章 弯曲变形引言

本章将在上一章得到的曲率公式的基础上， 1. 建立梁的挠度曲线微分方程；进而利用微分方程 的积分以及相应的边界条件确定挠度曲线方程; 2. 在此基础上，介绍工程上常用的计算梁变形 的 叠加法;

3. 讨论简单的静不定梁的求解问题; 4. 梁的刚度设计和合理刚度条件.

材料力学-第7章 弯曲变形引言

梁弯曲问题的近似和简化q ( x)M0ML

Q0

QL

弯曲问题中，不考虑轴向拉伸。因此，梁内力只有弯矩和剪力 下面，我们分别考虑弯矩和剪力引起的弯曲变形效果

材料力学-第7章 弯曲变形挠度曲线 垂直于轴线的横截面弯曲后仍为平面，仍 垂直于轴

线，只是相互间转动一个角度M

弯矩引起的弯曲变形M

剪力引起的弯曲变形Q

垂直于轴线的横截面弯曲后不垂直于轴线Q

材料力学中一般考虑细长梁，顾而可以忽略剪力引起的变形，只 考虑弯矩引起的变形。因为所有横截面始终与轴线垂直，所以，梁的 弯曲变形可以仅用轴线来表征。空间的梁简化成一轴线。

材料力学-第7章 弯曲变形挠度曲线

问题1: 如何表征梁的弯曲变形-用什么物理量来描述梁的变形

问题2: 如何计算梁的弯曲变形-如何将梁承受的荷载与变形联系起来MM

材料力学-第7章 弯曲变形挠度曲线

* 梁的挠度曲线在平面弯曲的情形下，梁上的任意微段的两横截面绕 中性轴相互转过一角度，从而使梁的轴线弯曲成平面曲线， 这一曲线称为梁的挠度曲线(deflection curve)。 ( x) ( x)

( x)MM

( x)

w

x

xw( x)

材料力学-第7章 弯曲变形挠度曲线

* 弯曲变形的表征梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置 的改变称为位移 (displacement) 。梁的位移包括三部分：1. 横截面形心处的铅垂位移，称为挠度(deflection),用w表示； 2. 变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度，称为转 角(slope),用 表示； ( x) ( x)

w

x

x ( x)

w( x)

材料力学-第7章 弯曲变形挠度曲线

* 弯曲变形的表征梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置 的改变称为位移 (displacement) 。梁的位移包括三部分：3. 横 截 面 形 心 沿 水 平 方 向 的 位 移 ， 称 为 轴 向 位 移 或 水 平 位 移 (horizontal displacement),用u表示。

# 在小变形情形下，上述位移中，水平位移u与挠度w相比为高阶小量，故 通常不予考虑。 ( x)

( x)

w

x

x ( x)

w( x)

材料力学-第7章 弯曲变形挠度曲线

* 挠度与转角的相互关系在Oxw坐标系中，挠度与转角存在关系：dw tan dx

在小变形条件下，挠度曲线较为平坦，即 很小，因而上式中 tan 。于是有

dw dx w= w(x), 称为挠度方程(deflection equation)。 ( x)

( x)

w

x

x ( x)

w( x)

材料力学-第7章 弯曲变形挠度曲线

* 梁的曲率与弯矩、刚度之间的关系根据上一章所得到的结果，弹性范围内的挠度曲线在一 点的曲率与这一点处横截面上的弯矩、弯曲刚度之间存 在下列关系：

M = EIwM0

1

( x)

( x)ML

x

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§7-2

挠曲轴近似微分方程

材料力学-第7章 弯曲变形§7-2 挠曲轴近似微分方程

挠曲轴近似微分方程

力学中的曲率公式

M EId2w dx 2 dw 1 d x 2

1

数学中的曲率

公式

1

3

2