大学物理 功能原理 机械能守恒定律

§2-8 功能原理 机械能守恒定律一. 质点系统动能定理设系统由两个质点1和2组成，它们的质量 分别为m1 和m2。 F1

s1 m1 f12 f 21

s2

F2

m2

质点系统动能定理

F1 d r1 f12 d r1 Ek1对质点2应用动能定理：

对质点1应用动能定理：

F1

s1

s2 m1

F2

f12

f 21

m2

F2 d r2 f 21 d r2 Ek 2 F1 d r1 F2 d r 2 f12 d r1 f 21 d r2 Ek1 Ek 2系统外 力的功 系统内 力的功

系统动能 的增量

Ae Ai Ek

质点系统动能定理

Ae Ai Ek质点系统的动能定理：系统的外力和内力作 功的总和等于系统动能的增量。

二. 质点组的功能原理因为对系统的内力来说，它们有保守内力和非保 守内力之分，所以内力的功也分为保守内力的功 Aic和 非保守内力的功 Aid 。

Ai Aic Aid Aic E p Ae Aid Ek E p E系统的功能原理：当系统从状态1变化到状态2 时，它的机械能的增量等于外力的功与非保守内力 的功的总和，这个结论叫做系统的功能原理。

系统的功能原理

注意：(1)取物体作为研究对象时，其中外力所作的功 指的是作用在物体上的所有外力所作的总功，必须 计算包括重力、弹性力的一切外力所作的功。 (2)取系统作为研究对象时，保守内力所作的功， 已为系统势能的变化所代替，如果计算了保守内力 所作的功，就不必再去考虑势能的变化；反之，考 虑了势能的变化，就不必再计算保守内力的功。

系统的功能原理

例题1 一汽车的速度v0=36km/h,驶至一斜率为0.010 的斜坡时，关闭油门。设车与路面间的摩擦阻力为 车重G的0.05倍，问汽车能冲上斜坡多远？ 解 解法一：取汽车为研究 对象。汽车上坡时，受到三 个力的作用:一是沿斜坡方 向向下的摩擦力 f r ,二是 重力 G ,方向竖直向下， 三是斜坡对物体的支持 力 N ,如图所示。设汽车 能冲上斜坡的距离为s,此 时汽车的末速度为0。根据 动能定理N

G2 s fr

G

G1

系统的功能原理

1 2 f r s Gs sin 0 mv 0 (1) 2 上式说明，汽车上坡时，动能一部分消耗于反抗 摩擦力作功，一部分消耗于反抗重力作功。因 fr= N= G1,所以 1 2 (2) G1 s Gs sin mv 0 2 按题意，tg =0.010,表示斜坡与水平面的夹角很 小，所以sin ≈ tg ,G1 ≈ G,并因G=mg,上式 可化成 1 2 (3) gs gstg v0 2

系统的功能原理

或

2 v0 s 2 g( tg )

代入已知数字得

102 s m 85 m 2 9.8(0.05 0.010)解法二：取汽车和地球这一系统为研究对象，则系 统内只有汽

车受到 f r和 N两个力的作用，运用系统 的功能原理，有 1 2 f r s=( Gs sin ) ( mv 0 0) 0 2 1 2 即 Gs mv 0 Gs sin (4) 2

系统的功能原理

例题2 在图中，一个质量m=2kg的物体从静止开始， 沿四分之一的圆周从A滑到B,已知圆的半径R=4m, 设物体在B处的速度v=6m/s,求在下滑过程中，摩擦力 所作的功。 解 在物体从A到B的下滑过程中，不仅有重力 G 的作用， 而且还有摩擦力F和正压力N 的作用，F与 N 两者都是变 力N 处处和物体运动方向相垂直，所以它是不作功。正压 力的，但摩擦力所作的功却因它是变力而使计算 A R 复杂起来，比较方便的方法是采用功 O 能原理进行计算，把物体和地球作为 fr 系统，则物体在A点时系统的能量EA是 N 系统的势能mgR,而在B点时系统的能 v G 2/2,它们的差值就是 量EB则是动能mv B 摩擦力所作的功，由此

系统的功能原理

1 A E B E A mv 2 mgR 2 1 2 2 6 J 2 9.8 4 J 42.4 J 2负号表示摩擦力对物体作负功，即物体反抗摩擦 力作功42.4J

机械能守恒定律

三. 机械能守恒定律机械能守恒定律：如果一个系统内只有保守内 力做功，或者非保守内力与外力的总功为零，则系 统内各物体的动能和势能可以互相转换，但机械能 的总值保持不变。这一结论称为机械能守恒定律。

条件定律 或 或

Ae Aid 0EKa EPa EKb EPbE EK EP 常量

EKb EKa EPa EPb

能量守恒定律

四. 能量守恒定律一个孤立系统经历任何变化时，该系统 的所有能量的总和是不变的，能量只能从一 种形式变化为另外一种形式，或从系统内一 个物体传给另一个物体。这就是普遍的能量 守恒定律。

守恒定律

例题3 起重机用钢丝绳吊运一质量为m 的物体，以速 度v0作匀速下降，如图所示。当起重机突然刹车时， 物体因惯性进行下降，问使钢丝绳再有多少微小的伸 长？(设钢丝绳的劲度系数为k,钢丝绳的重力忽略不 计)。这样突然刹车后，钢丝绳所受的最大拉力将有多 大？ T

x0

G h

v0

守恒定律

解 我们考察由物体、地球和钢丝绳所组成的系统。 除重力和钢丝绳中的弹性力外，其它的外力和内力都 不作功，所以系统的机械能守恒。T

x0

G

hv0

守恒定律

现在研究两个位置的机械能。 在起重机突然停 止的那个瞬时位置，物体的动能为 1 2 E k 1 mv 0 2 设这时钢丝绳的伸长量为x0,系统的弹性势能为 1 弹 2 E p1 kx0 2 如果物体因惯性继续下降的微小距离为h,并 且以这最低位置作为重力势能的零位置，那么，系 统这时的重力势能为

E

重 p1

mgh

守恒定律

所以，系统在这位置的总机械能为

1 1

2 2 E1 E k 1 E +E mv 0 kx0 mgh = + 2 2 在物体下降到最低位置时，物体的动能Ek2=0, 系统的弹性势能应为弹 p1 重 p1

1 2 E k ( x0 h) 2 重 E p2 0 此时的重力势能弹 p2

所以在最低位置时，系统的总机械能为 1 弹 重 E2 E k 2 E p 2 E p 2 k ( x0 h)2 = + + 2