建筑力学第七章

第七章 剪切与扭转

7.1

扭转的概念及外力偶矩的计算

扭转的概念 轴是以扭转变形为主要变形的直杆 作用于垂直杆轴平面内的力偶使杆引起的变形， 称扭转变形 扭转变形。 扭转变形 变形后杆件各横截面之间绕杆轴线相对转动了 一个角度，称为扭转角 用 表示 扭转角， 扭转角

外力偶矩的计算 已知轴所传递的功率和轴的转速。导出外力偶矩、 功率和转速之间的关系为：

N m = 9550 n式中 m----作用在轴上的外力偶矩，单位为Nm N-----轴传递的功率，单位为KW n------轴的转速，单位为r/min。

7.2

圆轴扭转时横截面上的内力及扭矩图

7.2.1 扭矩 平衡条件

ΣM x = 0

T = Me内力偶矩T称为扭矩 内力偶矩 称为扭矩 称为 扭矩的单位： 扭矩的单位：

N m 或 kN m

扭矩的正负号规定为：自截面的外法线向截面看， 扭矩的正负号规定为：自截面的外法线向截面看， 逆时针转向为正， 逆时针转向为正，顺时针转向为负

扭矩图常用与轴线平行的x坐标表示横截面的位置， 常用与轴线平行的 坐标表示横截面的位置，以与 坐标表示横截面的位置 之垂直的坐标表示相应横截面的扭矩， 之垂直的坐标表示相应横截面的扭矩，把计算结果 按比例绘在图上，正值扭矩画在x轴上方 轴上方， 按比例绘在图上，正值扭矩画在 轴上方， 扭矩图。 负值扭矩画在x轴下方 这种图形称为扭矩图 轴下方。 负值扭矩画在 轴下方。这种图形称为扭矩图。 例题7.1 图示传动轴，转速 n = 300 r min ,A轮为 图示传动轴， 例题 轮为 主动轮， 主动轮，输入功率 NA =10 kW,B、C、D为从动 、 、 为从动 轮，输出功率分别为 输出功率分别为

N B = 4.5 kW , NC = 3.5 kWN D = 2 .0 k W ,试求各段扭矩。 试求各段扭矩。 试求各段扭矩

解：1、计算外力偶矩 、M eA NA 10 kW = 9549 = 9549 × = 318.3 N m n 300 r min

M eB

NB 4.5 kW = 9549 = 9549 × = 143.2 N m n 300 r minNC 3.5 kW = 9549 = 9549 × = 111.4 N m 300 r min nND 2.0 kW = 9549 = 9549 × = 63.7 N m n 300 r min

M eCM eD

2、分段计算扭矩，分别为 、分段计算扭矩，

T1 = M eB = 143.2 N m

(图c)

T2 = M eB M eA = 143.2 N m-318.3 N m = -175 N m (图d) T3 = M eD = 63.7 N m (图e)

T2 ,T3 为负值说明实际方向与假设的相反。 为负值说明实际方向与假设的相反。3、作扭矩图 、

T

max

= 175 N m

7.3 等直圆轴扭转时横截面上的切应力7.3.1 实心圆轴横截面上的应力 1、变形几何关系 、

变形后，圆轴上所有的横截面均保持为平面， ⑴ 变形后，圆轴上所有的横截面均保持为平面， 即平面假设； 即平面假设； 横截面上的半径仍保持为直线； ⑵ 横截面上的半径仍保持

为直线； 各横截面的间距保持不变。 ⑶ 各横截面的间距保持不变。

d γρ = ρ dx2、物理关系 、

τ = Gγτ ρ = Gγ ρd = Gρ dx

3、静力学关系 、

∫

A

ρτ ρ dA = T2

d G dx

∫

A

ρ dA = T2

∫

A

ρ dA = I p 称截面的极惯性矩

d T = dx GI pT ρ τρ = Ip

得到圆轴扭转横截面上 任意点切应力公式 任意点切应力公式

当 ρ = R 时，表示圆截面边缘处的切应力最大

τ max

T T = = I p Wp R

称为抗扭截面系数 抗扭截面系数。 式中 Wp 称为抗扭截面系数。 它是与截面形状和尺寸有关的量。 它是与截面形状和尺寸有关的量。

7.3.2

极惯性矩和抗扭截面系数

实心圆截面的极惯性矩： 实心圆截面的极惯性矩：IP =

∫

A

ρ A 2 dA = 2π ∫ ρ 3 d ρ =

D 2 0

π D432

抗扭截面系数为： 抗扭截面系数为：

IP WP = = D/2

π D4

32 = D 16 2π32

π D3

空心圆极惯性矩轴：I P = ∫ ρ A2 dA = 2π ∫ ρ 3 d ρ =A D 2 d 2

(D4 d 4 ) =

π D432

(1 α 4 )

d 式中 α = D

为空心圆轴内外径之比。 为空心圆轴内外径之比。IP π D3 WP = = (1 α 4 ) D / 2 16

空心圆的抗扭截面系数

极惯性矩的量纲是长度的四次方， 极惯性矩的量纲是长度的四次方， 的量纲是长度的四次方 常用的单位为mm4 常用的单位为 抗扭截面系数的量纲是长度的三次方， 抗扭截面系数的量纲是长度的三次方， 的量纲是长度的三次方 常用单位为mm3 常用单位为

7.4

等直圆轴扭转时的强度计算

7.4.1 圆轴扭转强度条件 工程上要求圆轴扭转时的最大切应力不得超过 材料的许用切应力 [τ ],即

τ max

上式称为圆轴扭转强度条件。 上式称为圆轴扭转强度条件。

T = W p

≤ [τ ] m ax

试验表明， 试验表明，材料扭转许用切应力 塑性材料 脆性材料

[τ ] = 0.5 ~ 0.6 [σ ][τ ] = 0.8 ~ 1.0 [σ ]