数学物理方程答案 作业

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3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）

2

2u2 u 2 a2t x

ux at 0 (x) (0) (0) u (x). x at 0

解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) 令 x-at=0 得 (x)=F（0）+G（2x） 令 x+at=0 得 (x)=F（2x）+G(0) 所以 F(x)= ()-G(0). G（x）= ()-F(0). 且 F（0）+G(0)= (0) (0). 所以 u(x,t)= (

x2

x2

x atx at

)+ ()- (0). 22

即为古尔沙问题的解。

9．求解波动方程的初值问题。

tx 2

u au xx tt

(1 x2)2

u| 0,u| 1t 0tt 0 1 x2

11

d d d 解： u(x,t) 222

2ax at1 0x a(t )(1 )

x at

x attx a(t )

1

1 2d arctg(x at) arctg(x at) x at

1x a(t )

d d [] (1 2)2 2(1 2)x a(t )d

0x a(t )01 = [ ]d 22201 (x a(t )1 (x a(t ))

1x at u1x at u

du du = 2222

2x ata(1 u)2x ata(1 u)

x

x

t

tx a(t )t

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1=2a2

x at

x utdutdu

du 1 u2 22

zax at1 u2ax at1 ux at

xx

x11 (x at)2

= (arctg(x at) arctg(x at)) 2ln222a4a1 (x at)

t

[2arctgx arctg(x at) arctg(x at)] 2a11(x at)arctg(x at) (x at)arctg(x at) =22

2a2a

+

t11 (x at)2+arctgx ln22a4a1 (x at)

所以

122

{(x at 2a)arctg(x at) (x at 2a) 34a

2

11 (x at)

arctg(x at) 2atarctgx ln2

21 (x at)u(x,t)

§3混合问题的分离变量法 1. 用分离变量法求下列问题的解：

(1)

2

2u2 u 2 a2 t x

3 x u

u sin, t 0

l t

u(0,t) u(l,t) 0

t o

x(1 x)(0 x l)

解：边界条件齐次的且是第一类的，令

u(x,t) X(x)T(t)

得固有函数Xn(x) sin

n

x，且 l

an an

Tn(t) Ancost Bnsint，(n 1,2 )

ll

于是 u(x,t)

(Ancos

n 1

an an n

t Bnsint)sinx lll

今由始值确定常数An及Bn，由始值得

3 x n

sin Ansinx

lln 1

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x(l x)

an n

Bnsinx lln 1

所以 A3 1,An 0,当n 3

2n

Bn x(l x)sinxdx

an l0

2

an

ln l2n l xcosx sin

lln2 2

n

l2n x xcosx l n

l

2l2xn 2l3n

22sinx 33cosx

lln n

因此所求解为

l

4l3

44(1 ( 1)n) an

3a 3 4l3

u(x,t) cotsix

lla 41 ( 1)nan n

sitsix 4

llnn 1

§4 高维波动方程的柯西问题

1． 利用泊松公式求解波动方程 utt a2(uxx uyy uzz)

32 ut 0 x yz

的柯西问题

utt 0 0

解：泊松公式

1 1

ds u t 4 aMr 4 aMrSatSat

现 0, x yz

3

2

且 ds (r, , )rsin d d |r at

r00sM

at

2

其中 (r, , ) (x rsin cos ,y rsin sin ,z rcos ) (x rsin cos ) (y sin sin )(z rcos ) x yz 3xrsin cos 3xrsin

3

2

2

2

2

3

2

cos2 r2sin3 cos3

2yzrsin sin rzsin2 sin2 y2rcos

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2yr2sin cos sin r3sin sin2 cos

2

计算

(r, , )rsin d d

00

2

(x

00

3

y2z)rsin d d r(x3 y2z) 2 ( cos ) 0

4 r(x3 y2z)

2

3x

00

2

rsin cos rsin d d 3xr

22

sin

2

2

d cos d 0

02 0

2

3xr

00

2

sin2 cos2 rsin d d 3xr3 sin3 d cos2 d

1 12

3xr3[cos3 cos ] sin2 ]0 0 [

324

4xr r

2

3

2

00

4

r3sin cos3 rsin d d

2

4

sin d

cos3 d 4 xr3

2

2

2

2yzrsin sin rsin d d 2yzr sin

00

d sin d 0

02

2

2

2

2

3

2rzsin sin rsin d d rzsin d sin d 00

1 1432 r3z[cos3 cos ] [ sin2 ] rz00

3243

2

2

2

y

00

rcos rsin d d yr

22

cos sin d d 0

2

2

2yr sin coc sin rsin d d 00

2

2yr3 sin2 cos d sin d 0

2

00

322rsin sin cos rsin d d

2

r4 sin3 cos d sin2 d 0

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所以

43223

ds [4 r(x yz) 4 r rz]r at

r3M

Sat

1

4 at[x2 y2z xa2t2 a2t2z]

3

u(x,y,z)=

1

t4 aMr

Sat

31

[tx ty2z xa2t3 a2t2z]

t3

x3 y2z 3a2t2x a2t2z

即为所求的解。

3.

求解平面波动方程的柯西问题：

2 utt auxx uyy

2 u|t 0 x x y

ut|t 0 0

解： 由二维波动方程柯西问题的泊松公式得：

1

u x,y,t

2 a t m

at

,

at x y22

2

2

d d

at

m

,

a2t2 x y2

2

d d

1

2 a t

又

at2

x rcos ,y rsin

at r

22

2

rdrd

x rcos ,y rsin x rcos 2 x y rcos rsin

2

2

2

x x y 2x x y rcos x y rcos

2

2

xr cos sin 2xr cos sin cos rcos

2

2 3

2

cos sin

2

因为

2

co sd 0,sin d 0,co s d 0

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2 2

3

2

2

sin cos d 0,cos d 0,cos sin d 0. 0

at2

所以

00

x rcos ,y rsin

at r

a …… 此处隐藏：4521字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……