同济版高等数学课件8

一、问题的提出实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每 瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估 计，如果本地牌子的每瓶卖 x 元，外地牌子的 每瓶卖 y 元，则每天可卖出 70 5 x 4 y 瓶本 地牌子的果汁，80 6 x 7 y瓶外地牌子的果汁 问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可 取得最大收益？

每天的收益为 f ( x , y )

( x 1)(70 5 x 4 y ) ( y 1.2)(80 6 x 7 y )求最大收益即为求二元函数的最大值.

二、多元函数的极值和最值观察二元函数 z xy ex2 y2

的图形

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1、二元函数极值的定义设函数z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 的某邻域内 有定义，对于该邻域内异于( x0 , y0 ) 的点( x , y ) : 若满足不等式 f ( x , y ) f ( x0 , y0 ) ,则称函数 在 ( x 0 , y0 ) 有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式 f ( x , y ) f ( x0 , y0 ) ,则称函数在( x0 , y0 ) 有极 小值；极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.

例1 函数 z 3 x 2 4 y 2

在 (0,0) 处有极小值.例2 函数 z x 2 y 2在 (0,0) 处有极大值.

(1)

(2)

例3 函数 z xy 在 (0,0) 处无极值.

(3)

2、多元函数取得极值的条件定理 1(必要条件) 设函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 具有偏导数，且 在点 ( x0 , y0 ) 处有极值，则它在该点的偏导数必 然为零： f x ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0 .证 不妨设 z f ( x , y ) 在点( x 0 , y0 ) 处有极大值,则对于( x0 , y0 ) 的某邻域内任意

( x , y ) ( x0 , y0 ) 都有 f ( x , y ) f ( x0 , y0 ),

故当 y y0 , x x0 时， f ( x , y0 ) f ( x 0 , y0 ) , 有说明一元函数 f ( x , y0 ) 在 x x 0 处有极大值,必有

f x ( x 0 , y0 ) 0 ;

类似地可证

f y ( x 0 , y0 ) 0 .

推广 如果三元函数u f ( x , y , z ) 在点P ( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在P ( x0 , y0 , z0 ) 有极值的必要条 件为 f x ( x 0 , y 0 , z 0 ) 0 , f y ( x 0 , y0 , z 0 ) 0 , f z ( x 0 , y0 , z 0 ) 0 .

仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零 的点，均称为函数的驻点. 注意： 驻点 极值点

例如, 点(0,0) 是函数z xy 的驻点， 但不是极值点.问题：如何判定一个驻点是否为极值点？

定理 2(充分条件) 设函数 z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 的某邻域内连续， 有一阶及二阶连续偏导数，

f y ( x 0 , y0 ) 0 , 又 f x ( x 0 , y0 ) 0 , 令 f xx ( x0 , y0 ) A , f xy ( x0 , y0 ) B , f yy ( x0 , y0 ) C ,则 f ( x , y )在点( x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下： (1) AC B 0 时具有极值，2

当 A 0 时有极大值， 当 A 0 时有极小值；2 (2) AC B 0 时没有极值；

(3) AC B 0 时可能

有极值,也可能没有极值，2

还需另作讨论.

例4

求由方程 x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4 z 10 0 确定的函数z f ( x , y ) 的极值

解 将方程两边分别对 x, y 求偏导

2 x 2 z z 2 4 z 0 x x 2 y 2 z z y 2 4 z y 0由函数取极值的必要条件知, 驻点为 P (1, 1) ,将上方程组再分别对 x, y 求偏导数,

1 A z |P , xx 2 z2

1 B z |P 0, C z yy |P , xy 2 z

所以 z f (1, 1) 2 为极小值；

1 0 ( z 2) ,函数在P 有极值. 故 B AC 2 (2 z ) 将 P (1, 1) 代入原方程, 有 z1 2, z2 6 , 1 当 z1 2 时， A 0 , 4

1 当 z 2 6 时， A 0 , 4所以z f (1, 1) 6 为极大值.

求函数 z f ( x , y ) 极值的一般步骤：第一步 解方程组 f x ( x , y ) 0,

f y ( x, y) 0

求出实数解，得驻点.第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 ) ,求出二阶偏导数的值 A、B、C.

第三步 定出 AC B 的符号，再判定是否是极值.2

3、多元函数的最值与一元函数相类似，我们可以利用函数的 极值来求函数的最大值和最小值.

求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最 大者即为最大值，最小者即为最小值.

例5 求二元函数 z f ( x , y ) x 2 y ( 4 x y ) y x D 在直线 x y 6 , 轴和 轴所围成的闭区域 上的最大值与最小值.

解

如图,

先求函数在D 内的驻点，y

x y 6

Dx

Do

解方程组

f x ( x , y ) 2 xy (4 x y ) x 2 y 0 ( x , y ) x 2 (4 x y ) x 2 y 0 fy得区域D 内唯一驻点( 2,1) , 且 f ( 2,1) 4 ,再求 f ( x , y ) 在D 边界上的最值， 在边界 x 0 和 y 0 上 f ( x , y ) 0 ,

在边界 x y 6 上，即 y 6 x

y

于是 f ( x, y ) x (6 x )( 2) ,2

x y 6o

由 f x 4 x ( x 6) 2 x 0 ,2

D

x

得 x1 0, x2 4 y 6 x | x 4 2,

f (4,2) 64,比较后可知 f ( 2,1) 4 为最大值,

f (4,2) 64 为最小值.