2015届高考数学(理)第一轮复习达标课时跟踪检测：39 基本不等式

课时跟踪检测(三十九) 基本不等式与柯西不等式（选修

4-5）

第Ⅰ组：全员必做题

1．下列不等式一定成立的是( )

12A．lg(x＋)＞lg x(x＞0) 4

B．sin x＋

21≥2(x≠kπ，k∈Z) sin xC．x＋1≥2|x|(x∈R)

D.11(x∈R) x＋12．(2014·宁波模拟)若a>0，b>0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为( ) 1A. 2

C．2 B．1 D．4

3．若a，b均为大于1的正数，且ab＝100，则lg a·lg b的最大值是( )

A．0

C．2

2B．1 5D.2x＋24．函数y＝(x>1)的最小值是( ) x－1

A．23＋2

C．23

5．已知a>b>c>d，则

A．8

C．10 B．23－2 D．2 11＋1(a－d)的最小值为( ) a－bb－cc－d B．9 D．6

6．函数y＝12－2x＋x－1的最大值为________．

7．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里处． 8.创新题规定记号“ ”表示一种运算，即a bab＋a＋b(a，b为正实数)．若1

k xk＝3，则k的值为________，此时函数f(x)＝的最小值为________． x

199．正数x，y满足＋1. xy

(1)求xy的最小值；

(2)求x＋2y的最小值．

10．为了响应国家号召，某地决定分批建设保障性住房供给社会．首批计划用100万元购得一块土地，该土地可以建造每层1 000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元．已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为800元．

(1)若建筑第x层楼时，该楼房综合费用为y万元(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，写出y＝f(x)的表达式；

(2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少元？

第Ⅱ组：重点选做题

331．(2013·台州一模)设x，y均为正实数，且1，则xy的最小值为( ) 2＋x2＋y

A．4

C．9 B．43 D．16

1112．设a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝1，则＋的最小值是________． 2a＋12b＋12c＋1

答 案

第Ⅰ组：全员必做题

13 211．选C 取x＝lg x＝lg x，故排除A；取x＝π，则sin x＝－1，故排除B；4 22

1取x＝0，则21，故排除D. x＋1

112．选A ∵a>0，b>0，a＋2b＝2，∴a＋2b2ab，即ab≤.当且仅当a＝1，b＝22

时等号成立．

3．选B ∵a>1，b>1.

∴lg a>0，lg b>0. lg a·lg b≤＋

42241.

当且仅当a＝b＝10时取等号．

4．选A ∵x>1，∴x－1>0.

x＋2x－2x＋2x＋2x－2x＋1＋－∴y＝x－1x－1x－1

＝－2222＋3＋－

x－1＋33＝x－1＋2 x－1

≥2 － 3＋2＝3＋2. x－1

3当且仅当x－1＝x＝1＋3时，取等号． x－1

5．选B 原式＝

3

111 [(a－b)＋(b－c)＋(c－ a－bb－cc－d －－－＝9. 1113××a－bb－cc－d

当且仅当a－b＝b－c＝c－d时等号成立．

6．函数的定义域为[1,6]．

y＝(12－2x＋x－1)＝(2×6－x＋1×x－1)≤[(2)＋1]×[(6－x)＋(x－1)]＝3×5＝15.

∴y≤15.由题意知y>0，∴0<y≤15.

2×x－16－x，

8即x＝ 3

答案：15

207．解析：设x为仓库与车站距离，由已知y1＝；y2＝0.8x费用之和y＝y1＋y2＝0.8xx20＋x20200.8x·8，当且仅当0.8x＝x＝5时“＝”成立． xx22222222答案：5

8．解析：1 k＝k＋1＋k＝3，

即k＋k－2＝0，

∴k＝1或k＝－2(舍)，

∴k＝1.

1 xx＋x＋1f(x)＝＝ xx

＝1＋x＋1

x≥1＋2＝3，

1

x即x＝1时等号成立． x＝

答案：1 3

199．解：(1)由1＝＋xy故xy的最小值为36.

2y9x 19 (2)由题意可得x＋2y＝(x＋2y) ＋ ＝19＋＋xy xy

2y9x22，即9x＝2y时取等号，故x＋2y的最小值为19＋62. xy

10．解：(1)由题意知建筑第1层楼房每平方米建筑费用为720元，

建筑第1层楼房建筑费用为720×1 000＝720 000(元)＝72 (万元)，

楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高20×1 000＝20 000(元)＝2(万元)，

建筑第x层楼房的建筑费用为72＋(x－1)×2＝2x＋70(万元)，

建筑第x层楼时，该楼房综合费用为

y＝f(x)＝72x＋－

2

21919得y＝9x＝18时取等号，xyxy2y9x·19＋62，当且xy100＝x＋71x＋100， 2综上可知y＝f(x)＝x＋71x＋100(x≥1，x∈Z)．

(2)设该楼房每平方米的平均综合费用为g(x)，则g(x)＝21 000x＝x＋71x＋x1 00010xx1 000＋710＝910. x

1 000当且仅当10x＝x＝10时等号成立． x

综上可知应把楼层建成10层，此时平均综合费用最低，为每平方米910元．

第Ⅱ组：重点选做题

331．选D 由＋1可化为xy＝8＋x＋y，∵x，y均为正实数，∴xy＝8＋x＋y≥82＋x2＋y

＋xy(当且仅当x＝y时等号成立)，即xy－2xy－8≥0，解得xy≥4，即xy≥16，故xy的最小值为16.

2．∵a＋b＋c＝1，a，b，c为正数，

∴ 111(2a＋1＋2b＋1＋2c＋1)≥(1＋1＋1)2，∴1＋1＋2a＋12b＋1 2a＋12b＋12c＋1

19≥2c＋15

当且仅当2a＋1＝2b＋1＝2c＋1，

即a＝b＝c时等号成立，

11119∴当a＝b＝c＝＋＋32a＋12b＋12c＋15

9答案：5