人教新课标版数学 高一人教A版必修4 向量减法运算及其几何意义

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[学业水平训练]

1．在△ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，则AB →等于( )

A ．a ＋b

B ．－a －b

C ．a －b

D ．b －a

解析：选B.AB →＝－BA →＝－(BC →＋CA →)＝－a －b .

2．若非零向量a ，b 互为相反向量，则下列说法错误的是( )

A ．a ∥b

B ．a ≠b

C ．|a |≠|b |

D ．b ＝－a

解析：选C.根据相反向量的定义：大小相等，方向相反，可知|a |＝|b |.

3. 如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC

，CA 的中点，则( )

A.AD →＋BE →＋CF →＝0

B.BD →－CF →＋DF →＝0

C.AD →＋CE →－CF →＝0

D.BD →－BE →－FC →＝0 解析：选A.∵D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点，∴BE →＝DF →，CF →＝FA →，

∴AD →＋BE →＋CF →＝AD →＋DF →＋FA →＝0.

4．化简以下各式：

①AB →＋BC →＋CA →；

②OA →－OD →＋AD →；

③NQ →＋QP →＋MN →－MP →.

结果为零向量的式子个数是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．0

解析：选C.①首尾相接的向量的和为零向量；

②OA →－OD →＋AD →＝(OA →－OD →)＋AD →＝DA →＋AD →＝0；

③NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝(NQ →＋QP →)＋(MN →－MP →)＝NP →＋PN →＝0.

5．下列各式能化简为AD →的个数是( )

①(AB →－DC →)－CB →

②AD →－(CD →＋DC →)

③－(CD →＋MC →)－(DA →＋DM →)

④－BM →－DA →＋MB →

A ．1

B ．2

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精校版 C ．3

D ．4

解析：选C.因为(AB →－DC →)－CB →＝AB →＋CD →＋BC →＝AB →＋BD →＝AD →；

AD →－(CD →＋DC →)＝AD →－0＝AD →；

－(CD →＋MC →)－(DA →＋DM →)＝－MD

→－DA →－DM →＝DM →＋AD →－DM →＝AD →；

－BM →－DA →＋MB →＝MB →＋AD →＋MB →＝AD →＋2MB →.

6．在△OAB 中，已知OA →＝a ，OB →＝b ，且|a |＝|b |＝4，∠AOB ＝60°，则|a －b |＝________．

解析：|a －b |＝|OA →－OB →|＝|BA →|＝4. 答案：4

7．(2014·徐州高一检测)化简(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →)＝________．

解析：(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →)＝(AB →＋BA →)＋(PC →＋CQ →)＝0＋PQ →＝PQ →.

答案：PQ →

8. 如图，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则OD →＝________．

解析：因为BA →＝CD →，

BA →＝OA →－OB →，CD →＝OD →－OC →，

所以OD →－OC →＝OA →－OB →，

OD →＝OA →－OB →＋OC →.

所以OD →＝a －b ＋c .

答案：a －b ＋c

9．如图，已知a ，b ，求作a －b .

解：

10. 如图，在五边形ABCDE 中，若四边形ACDE 是平行四边形，且AB →＝a ，AC →＝b ，AE

→＝c ，试用a 、b 、c 表示向量BD →、BC →、BE →、CD →及CE →.

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解：∵四边形ACDE 为平行四边形，

∴CD →＝AE →＝c .BC →＝AC →－AB →＝b －a .

BE →＝AE →－AB →＝c －a .CE →＝AE →－AC →＝c －b .

∴BD →＝BC →＋CD →＝b －a ＋c .

[高考水平训练]

1．平面内有三点A 、B 、C ，设m ＝AB →＋BC →，n ＝AB →－BC →，若|m |＝|n |，则有( )

A ．A 、

B 、

C 三点必在同一直线上

B ．△AB

C 必为等腰三角形且∠B 为顶角

C ．△ABC 必为直角三角形且∠B ＝90°

D ．△ABC 必为等腰直角三角形

解析：选C. 如图，作AD →＝BC →，则ABCD 为平行四边形，从而m ＝AB →＋BC →＝AC →，n ＝

AB →－BC →＝AB

→－AD →＝DB →.

∵|m |＝|n |，∴|AC →|＝|DB →|.

∴四边形ABCD 是矩形，

∴△ABC 为直角三角形，且∠B ＝90°. 2. 已知如图，在正六边形ABCDEF 中，与OA →－OC →＋CD →相等的向量有________．

①CF →；②AD →；③BE →；④DE →－FE →＋CD →；⑤CE →＋BC →；⑥CA →－CD →；⑦AB →＋AE →.

解析：因为四边形ACDF 是平形四边形，

所以OA →－OC →＋CD →＝CA →＋CD →＝CF →，

DE →－FE →＋CD →＝CD →＋DE →＋EF →＝CF →，

CE →＋BC →＝BC →＋CE →＝BE →，

CA →－CD →＝DA →，

因为四边形ABDE 是平行四边形，

所以AB →＋AE →＝AD →，

综上知与OA →－OC →＋CD →相等的向量是①④.

答案：①④

3．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →－OA →＋OC →－OA →|，试判断△ABC

的形状．

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精校版 解：因为OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，又|OB →－OC →|＝|OB →－

OA →＋OC →－OA →|，所以|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，所以以AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，所以此平行四边形为矩形，所以AB ⊥AC ，所以△ABC 是直角三角形．

4．已知△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，M 为斜边AB 的中点，CM →＝a ，CA →＝

b .求证：

(1)|a －b |＝|a |；

(2)|a ＋(a －b )|＝|b |.

证明：如图，在等腰Rt △ABC 中，由M 是斜边AB 的中点，有|CM →|＝|AM →|，|CA →|＝|CB →|.

(1)在△ACM 中，AM →＝CM →－CA →＝a －b .

于是由|AM →|＝|CM →|，

得|a －b |＝|a |.

(2)MB →＝AM →＝a －b ，

所以CB →＝MB →－MC →＝a －b ＋a ＝a ＋(a －b )．

从而由|CB →|＝|CA →|，

得|a ＋(a －b )|＝|b |.