反比例函数知识点归纳和典型例题

反比例函数知识点归纳和典型例题

反比例函数基础巩固与经典例题

知识点归纳

（一）反比例函数的概念 1．

（

）可以写成

（

）的形式，注意自变量x的指数为

，

在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数2．

（

这一限制条件；

）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解

析式中的k，从而得到反比例函数的解析式； 3．反比例函数的自变量（二）反比例函数的图象

，故函数图象与x轴、y轴无交点．

在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）． （三）反比例函数及其图象的性质 1．函数解析式：（ 2．自变量的取值范围： 3．图象：

（1）图象的形状：双曲线．

）

越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．

越小，图象的弯曲度越大．

（2）图象的位置和性质：

与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线． 当时，图象的两支分别位于一、三象限； 在每个象限内，y随x的增大而减小； 当时，图象的两支分别位于二、四象限； 在每个象限内，y随x的增大而增大．

（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上， 则（，）在双曲线的另一支上． 图象关于直线 则（，）和（

对称，即若（a，b）在双曲线的一支上， ，）在双曲线的另一支上．

1

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4．

k的几何意义

如图1，设点P（a，b）是双曲线⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是

上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB（三角形PAO和三角形PBO的面积都是

）．

如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为

．

图1 图2 5．说明：

（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论． （2）直线 当当

必有两个交点，原点成中心对

（四）充分利用数形结合的思想解决问题． 例题分析

1．反比例函数的概念

2

与双曲线的关系：

时，两图象没有交点；

时，两图象

且这两个交点关于称．

反比例函数知识点归纳和典型例题

（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）．

A．y=3x B． C．3xy=1 D．（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）． A．

B．

C．

D．

2．图象和性质

（1）已知函数是反比例函数，

①若它的图象在第二、四象限内，那么k=_________ ②若y随x的增大而减小，那么k=___________．

（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数 象位于第________象限．

的图

（3）若反比例函数经过点（经过第_____象限．

，

2），则一次函数的图象一定不

（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，

则直线不经过的象限是（ ）．

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限

D．第四象限

（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点， 则一次函数y=kx+m的图象经过（ ）．

A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 （6）已知函数（ ）．

和

（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是

A． B． C． D．

3．函数的增减性 （1）在反比例函数

，则

的图象上有两点

的值为（ ）．

3

，，且

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A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 （2）在函数

，，

大小关系是（ ）． A． C．

＜＜

＜＜

B． D．

（a为常数）的图象上有三个点

，则函数值＜＜

＜＜

、

、

的

（3）下列四个函数中：①；②；③；④． y随x的增大而减小的函数有（ ）．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而______ （填“增大”或“减小”）．

4．解析式的确定

（1）若与成反比例，与成正比例，则y是z的（ ）．

A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．不能确定 （2）若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为 （2，m），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________． （3）已知反比例函数的图象经过点第二、四象限，求的值．

，反比例函数

的图象在

（4）已知一次函数y=x+m与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为P （x0，3）．

①求x0的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．

4

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5．面积计算

（1）如图，在函数

的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、

、

y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、

，则（ ）．

B．

C．

D．

A．

第（1）题图 第（2）题图

（2）如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC//y轴，BC//x轴，△ABC的面积S，则（ ）．

A．S=1 B．1＜S＜2 C．S=2 D．S＞2 （3）如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线

上，且S△AOB=3，求m的值．

第（3）题图 第（4）题图 （4）已知函数的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点，过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，R1，过P2分别作x轴、y轴的垂线P2 Q 2，P2 R 2，垂足分别为Q 2，R 2，求矩形O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周长，并比较它们的大小．

5

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（5）如图，正比例函数y=kx（k＞0）和反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B，连接BC，若△ABC面积为S，则S=_________．

第（5）题图 第（6）题图

（6）如图在Rt△ABO中，顶点A是双曲线与直线在第四象

限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO=． ①求这两个函数的解析式；

②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．

6

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（7

）

如图，

已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数（k＞0，x＞0）的图象上，点P （m，n）是函数

（k＞0，x＞0）的图象上任意一点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为E、F，设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S． ① 求B点坐标和k的值； ② 当时，求点P的坐标； ③ 写出S关于m的函数关系式．

6．综合应用