初二数学全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法

全等三角形问题中常见的辅助线的作法（有答

案）

总说明：

全等三角形问题主要是构造全等三角形，构造二条边之间相等，构造二个角之间相等常见辅助线的作法有以下几种：

1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．

2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．

3）遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。

4）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”

5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

6）已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。

其他方法有：

1.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90 的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

2.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90 的特殊直角三角形，或

40-60-80 的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

3.特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线

段连接起来，利用三角形面积的知识解答．

、倍长中线（线段）造全等

例 1、已知，如图 △ ABC 中， AB=5 ，AC=3 ，则中线 AD 的取值围是 _____

例 2、如图， △ABC 中，E 、F 分别在 AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中

点，试比较 的大小 . 例 3、如图， △ABC 中， BD=DC=AC ，E 是 DC 的中点，求证： AD 平分∠ BAE. 应用：

1、以 ABC 的两 边AB 、AC 为腰分别向外作 等腰Rt ABD 和 等腰Rt ACE

， BAD CAE 90 , 连接 DE ，M 、N 分别是 BC 、DE 的中点．探究： AM 与DE 的位置关系 及数量关系．

1）如图① 当 ABC 为直角三角形时， AM 与DE 的位置关系是 线段 AM 与DE 的数量关系是

2）将图①中的等腰 Rt ABD 绕点A 沿逆时针方向旋转

（0< <90） 后，如图②所示，（ 1）BE+CF 与 EF

问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．

ABCD 中，BC >BA,AD ＝CD ，BD 平分 ABC ， 求证： A C 180

0、截长补短

1、如图， ABC 中， AB=2AC ，AD 平分 BAC ，且AD=BD ，求证： CD ⊥AC

2、如图， AD ∥BC ，EA,EB 分别平分∠ DAB,∠CBA ，CD 过点 E ，

3、如图，已知在 VABC ， 且 AP ，BQ 分别是 BAC ， 0

BAC 60 ， C 400 ， 4、如图，在四边形

C

ABC 的角平分线。求

A

5、如图在△ ABC中，AB>AC，∠ 1＝∠2，P为AD 上任意一点，求证;AB-AC >PB-PC

D

应用：

、平移变换

例1 AD 为△ ABC的角平分线，直线MN⊥AD 于A.E为MN 上一点，△ ABC周长记为P A，

例2 如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.

四、借助角平分线造全等

1、如图，已知在△ ABC 中，∠ B=60 °，△ABC 的角平分线AD,CE 相交于点O ，求证：

OE=OD A

E O

△EBC周长记为P B.求证P B >P A.

2、如图，△ ABC中，AD平分∠ BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB= a ，AC= b，求AE、BE的长.

应用：

1、如图①，OP是∠ MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全

等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ ABC中，∠ ACB是直角，∠ B=60 °，AD、CE分别是∠ BAC、∠ BCA 的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD 之间的数量关系；

（2）如图③，在△ ABC中，如果∠ ACB 不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你

F

例 2 D 为等

腰

（1）

Rt ABC 斜边 AB 的中点， DM ⊥ DN,DM,DN 分别交 BC,CA 于点 E,F 。 当 MDN 绕点 D 转动时，求证 DE=DF 。 若 AB=2，求四边形 DECF 的面积。 五、旋转

例 1 正方形 ABCD 中，E 为 BC 上的一点， F 为 CD 上的一点， BE+DF=EF ，求∠ EAF 的

度数. 角形，且 BDC 1200 ，以 D 为顶点做一个 600

角，使其两边分别交 AB 于点 M ，交 AC 于点 N ，连接 MN

，则 AMN 的周长为 ；

2、已知:PA= 2 ,PB=4, 以AB 为一边作正方形ABCD,使P、D 两点落在直线AB 的两侧.

(1)如图,当∠ APB=45 °时,求AB及PD 的长;

(2)当∠ APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠ APB的大小.

D