初中数学培优竞赛讲座第2讲__跨跃从算术到代数

初中数学培优竞赛,跨跃从算术到代数,附答案

第二讲 跨越——从算术到代数

“算术”可以理解为“计算的方法”，而“代数”可以理解为“以符号替代数字”，即“数学符号化”．著名数学教育家玻利亚曾说：“代数是一种不用词句而只用符号所构成的语言．”

用字母表示数是数学发展史上的一件大事，是由算术跨越到代数的桥梁，是人类发展史上的一个飞跃，也是代数与算术的最显著的区别．

字母表示数使得数学具有简洁的语言，能更普遍地说明数量关系，在列代数式、求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用．

例题

【例1】观察下列等式

9—l=8， 16—4＝12，25—9＝16，36—16＝20，

这些等式反映出自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示出来：

．(河南省中考题)

思路点拨 在观察给定的等式基础上，寻找数字特点，等式的共同特征，发现一般规律．

注：从个别事物中发现一般性规律．这种研究问题的方法叫“归纳法”，是由特殊到一般的思维过程，是发明创造的基础。

【例2】 某商品2002年比2001年涨价5％，2003年又比2002年涨价10％，2004年比2003年降价12％，则2004年比2001年( )．

九涨价3％ B．涨价1．64％ C涨价1．2％ D．降价1．2％

(“TRUIY信利杯”竞赛题)

思路点拨 设此商品2001年的价格为a元，把相应年份的价格用a的代数式表示，由计算作出判断．

【例3】 计算

11111111111( )(1 ) (1 )( ) 23200223200122002232001

思路点拨 直接计算复杂而繁难，注意括号内数式的联系，引入字母，将复杂的数值计算转化为简单的式的计算．

【例4】 有—张纸，第1次把它分割成4片，第2次把其中的1片分割成4片，以后每一次都把前面所得的其中一片分割成4片，如此进行下去，试问：

(1)经5次分割后，共得到多少张纸片?

(2)经n次分割后，共得到多少张纸片?

(3)能否经若干次分割后共得到2003张纸片?为什么?

(江苏省竞赛题)

思路点拨 从简单情形人手，发现纸片数的特点是解本例的关键．

【例5】在右图中有9个方格，要求每个方格填入不同的的数，使得每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等，问：右图左上角的数是多少？

思路点拨 虽然要求的只是右上角的数，但是题目的条件还与其他的数有关，因此， 需恰当地引进不同的字母表示数，以便充分运用已知条件．

注：① 用字母表示数，有利于运用代数式揭示问题中的数量关系，便于找到数量的相依关系或相等不等关系，具有设元意识，会用代数式表示，是由算术习惯向代数过渡的重要步骤，是突破算术方法的定势的关键．

② 本例的3个小题，反映了我们认识事物、探究问题的基本过程．第(1)小题是研究具体对象，第(2)小题是归纳出一般规律，第(3)小题是再运用这些规律去分析、研究、解决问题．

③ 有些问题涉及的量比较多，关系复杂，我们就需要引入不同的字母，便于把数量关系表示出来，在

解题中我们不需(或不能)求出所有字母的值，只需求出关键的字母的值，这种方法我们称之为“设

初中数学培优竞赛,跨跃从算术到代数,附答案

学力训练

1．给出下列算式：

l2+1=1×2，22+2=2×3， 32 +3=3×4，

观察上面一列算式，你能发现什么规律，． (福州市中考题)

2．已知：2 223344aa 22 ，3 32 ，4 42 ， ，若10 102 (a、b为33881515bb

正整数)，则a+b= ． (2003年武汉市中考题)

3．若（m十n）人完成一项工程需要m天，则n个人完成这项工程需要天．

(假定每个人的工作效率相同) (江苏省竞赛题)

4．某同学上学时步行，回家时坐车，路上一共要用90分钟，若往返都坐车．全部行程只需30分钟，如果往返都步行，那么需要的时间是 ． (河南省竞赛题)

5．一项工程，甲建筑队单独承包需要a天完成，乙建筑队单独承包需要b天完成，现两队联合承包，完成这项工程需要( )天．

A．111ab1 B． C. D． a baba bab

6．某专卖店在统计2003年第一季度的销售额时发现，二月份比一月份增加10％，三月份比二月份减少10％，那么三月份比一月份( )．

A．增加10％ B．减少10％ C．不增不减 D．减少1％

(河南省中考题)

7．如图，在长方形ABCD中，横向阴影部分是长方形，另一阴影部分是平行四

边形，依照图中标注的数据，计算图中空白部分的面积，其面积是( )．

A．bc-ab+ac+c2 B．ab-bc-ac+c2 C．a2 +ab+bc-ac D．b2-bc+a2-ab

(河北省中考题)

8．为了绿化环境、美化城市，在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪，如果两块草坪的周长相同，那么它们的面积S1、S2的大小关系是( )．

A．S1＞S2 B．Sl<S2 C．S1=S2 D．无法比较

9．从1开始，连续的奇数相加，和的情况如下：

1＝12，

1+3=4＝22，

1+3+5＝9＝32，

1+3+5+7＝16=42，

1+3+5+7+9＝25＝52，

(1)请你推测出，从1开始，n个连续的奇数相加，它们的和s的公式是什么?

(2)计算：

①1+3+5+7+9+1l+13+15+17+19；

②11+13+15+17+19+21+23+25．

(3)已知1+3+5+ +(2n一1)=225，求整数n的值．

10．从小明的家到学校，是一段长度为a的上坡路接着一段长度为b的下坡路(两段路的长度不等但坡度相同)．已知小明骑自行车走上坡路时的速度比走平路时的速度慢20％，走下坡路时的速度比走平路时的速度快20％，又知小明上学途中花10分钟，放学途中花12分钟．

(1)判断a与b的大小；

(2)求a与b的的比值． (江苏省竞赛题)

初中数学培优竞赛,跨跃从算术到代数,附答案

11.观察下列各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个圆点，每个图案中圆点的总数是S．按此规律推断出S与n的关系式是 ． (2001年广西中考题)

12．如图，将面积为a2的小正方形与面积为b2的大正方形放在一起(b>a>0)，用a、b表示三角形ABC

的面积为 ． (“希望杯”邀请赛试题)

13．已知17个连续整数的和是306，那么，紧接在这17个数后面的那17个整数的和为．

14．用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律．拼成若干个图案：

(1)第4个图案中有白色地面砖

(2)第n个图案中有白色地面砖 (2003年南昌市中考题)

15．下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是( )．

A．1627384950 B．2345678910 C． 3579111300 D．4692581470 (江苏省竞赛题)

16．给出两列数：l，3，5，?，9， ，2001和1，6，1l，16，21， ，2001，同时出现在两列数中的数的个数为( )．

A．199 B．200 C． 201 D．202 (重庆市竞赛题)

17．—种商品每件进价为a元，按进价增加25％定出售价，后因库存积压降价，按售价的九折出售，每件还能盈利( )．

A．0.125a B．0.15a C．0.25a D．1.25a (山东泰安市中考题)

18．如果用a名同学在b小时内搬运c块砖，那么c名同学以同样的速度搬运a块砖所需的小时数是( )．

c2c2a2bab A．2 B． …… 此处隐藏：2453字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……