高中数学人教版《必修1 》2.2.2对数函数及其性质

高中数学人教版《必修1 》2.2.2对数函数及其性质贵州省晴隆民族中学 刘玉峰

主讲教师: 刘玉峰 2012.10.24

函数思想惯穿整个高中代数,学习函数 的主要方法是类比联想思维,最关键的 还是数形结合的思想.他能直观形象的 体现函数的性质。从图象的左右分布， 分析函数的定义域；从图象的上下分 布，分析函数的值域；从图象的最高 点、最低点，分析函数的最值；从图 象的对称性，分析函数的奇偶性；从 图象的走向趋势，分析函数的单调性、 周期性等 .数学家华罗庚总结 如下:

数缺形时少直观，形少数时难入微， 数形结合千般好， 数形分离万事休。

——华罗庚

复习引入

指数式与对数式可相互转化；

幂变真数指数变对数

a Nx

x log a N底数不变

已知底数和幂的值，求指数

分裂次数

球菌分裂过程

球菌个数 2=21 4=22 8=23

第一次第二次 第三次

第 x次

………… ……

有1根长 1米的木棒 ，第一次砍去木棒一半，第二 次再砍去剩余木棒的一半，……砍了x次后木棒剩余的 长度为y米，试写出y与x之间的函数关系式次数 剩余木棒

…

1

…

问题情景？在某细胞分裂过程中，细胞个数y是分裂次数 x的函数y=2x, 已知细胞的分裂次数x的值,就能 求出细胞个数y的值. 反过来,在等式y=2x中,如果已知细胞个数y 的 值,怎样求分裂次数x?例如: 8=2X x= log28 =3

X=

log 2 y

问: 上式能看作一个函数吗?

把细胞个数y看作自变量,则每输入一个y的值, 都能得到唯一一个分裂次数x的值,根据函数的 定义,分裂次数x就可以看作是细胞个数y的函 数:

x = log2y

对数函数的概念:

一般地，函数y=logax (a>0,a≠1) 叫做对数函数.x进行类比， 把对数函数和指数函数 y=a 定义域是(0,+∞) 值域是R 思考对数函数的定义域和值域分别是什么?

练习：说出下列哪些是对数函数， 并说明理由(1)y = log 1 x2

(2)y = 2 log 2 xx

(3)y = log 3

(4)y = log x 2 x

(6)y = log 1 x + 3 ( 5 )y = log 1 (x + 3 )2

2

(7)y = 2

x

( 8 )y = x

2

探究：对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与性质

在同一坐标系中用描点法画出对数函数

y log 2 x和y log 1 x 的图象。

作图步骤:

2

①列表, ②描点, ③用平滑曲线连接。

探究：对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与性质作y=log2x图象

列 表 描 点连 线

X

1/4

1/2

1

2

4

…

y=log2x

-2

-1

0

1

2

…

y 21011 42

1 2 3

4

x

-1 -2

探究：对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与性质

列 y log2 x … -2 表 y log 1 x2

x

…

1/4 1/2-1 1

10 0

2 41 -1

…

2 … -2 …

…

2

描 点 连 线

y 2 1011 42

1 2 3

4

x

-1

-2

这两个函 数的图象 有什么关 系呢？

关

于x轴对称

探究：对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与性质 y 2 探索发现:认 1 真观察函数 x 0 1 2 3 4 y=log2x -1 的图象填写 -21 1 4 2

下表

图象特征

代数表述

图象位于y轴右方 图象向上、向下无限延伸

定义域 : ( 0,+∞) 值 域 :

R

自左向右看图象逐渐上升 在(0,+∞)上是： 增函数

探究：对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与性质

探索发现:认 真观察函数

y 2

y log12

x

1 1142

的图象填写 下表图象特征

0 -1 -2

1 2 3 4

x

函数性质

图象位于y轴右方 图象向上、向下无限延伸

定义域 : 值 域 :

( 0,+∞) R

自左向右看图象逐渐下降 在(0,+∞)上是：减函数

探究：对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与性质

猜猜: 对数函数 y思考：1、 a>1图像函数 的草图,0<a<1 函数的草图? 2、都过哪个 定点? 3、图像都在 哪些象限？ 4、底数互为 倒数的两个函 数图像有什么 关系？ 5、能否将这 个性质从特殊 到一般？

log 3 x和y log 1 x3

的图象。

y 2 1011 42

y log 2 xy log 3 x

1

2 3

4

xy log 1 xy log 1 x2

-1 -2

3