武汉大学数学与统计学院2003-2004年第一学期《微积分》期末考试

武汉大学数学与统计学院

2003－2004第一学期《微积分》期末考试试题

（216学时）

一、 填空题：（5×4分）

sin2x

,

1、f(x) x

2 3x 2x k,

x

x 0x 0

在x 0连续，则常数k

2、limx[ln(1 x) lnx]

3、f(x)的一个原函数为xlnx,则f (x) 2

4

、

2

(1 x＝ .

(1 x2)n

5、使级数 收敛的实数x的取值范围是 22n

1 (1 x)n 1

二、选择题：（5×4分）

1(x2 x)(lnx)(sin)

的可去间断点的个数是 . 1、f(x)＝2

x 1

A、 0； B、1； C、2； D、3. 2、已知f (1) 2, 则lim

x 0

f(1 x) f(1 x)

x

A、 2； B、－2； C、4； D、－4.

3、设f(x)在(a,b)内连续，若limf(x)与limf(x)存在（有限），则

x a 0

x b 0

A、f(x)在[a,b]上一致连续； B、f(x)在(a,b)上一致连续；； C、f(x)在[a,b]上连续；； D、f(x)在(a,b)上可微；

4、级数

1

(1 cos) （k为正整数）的敛散性是 nn k

A、 绝对收敛； B、条件收敛； C、发散； D、与k有关. 5、已知f(x)二阶导数连续，且f(0)＝0以及lim

x 0

f(x)

1，则曲线y f(x)在 2x

x 0处的曲率k为A、 0； B、1； C、2； D、 不存在. 二、 计算下列各题：（6×5分）

1

sinx1 cos

)x ； 1、求极限：lim(

x 0x

2、y sinx ，求y3、求不定积分：

4、判别积分

2(2004)

；

cosx

sinx 2cosxdx ；

1

11[ln(1 ) ]dx的收敛性。

x1 x

t

x ulnudu

d2y 1

5、设 (t 1) , 求：2

1

dx y u2lnudu

2 t

2

6、如果f(x)在[a,b]上有连续导数，f(a) f(b) 0，并且

ba

f2(x)dt 2，求积分

ba

xf(x)f (x)dx的值。

2

2

三、(8分)曲线y f(x)由方程9x 16y 25给出，

1）、求所给曲线上点P(a,b)处的切线方程；

2）、在所给曲线位于第一象限的那部分上求一点，使其切线与坐标轴所围成的面积最小。 四、(7分)平面图形D由曲线xy 1,x y以及x 2所围，求D绕x轴旋转所成的立体体积V。 六、(8分)设函数f(x)在[a,b]上连续，f(x) 0，又F(x)

x0

f(t)dt

x

b

1

（1）dt，证明：

f(t)

（2）F(x) 0在[a,b]中有且仅有一个实根。 F (x) 2；

七、（7分）设f(x)在[0,2]上连续，且在(0,2)内可导，如果有

23

2

f(x)dx

f(c)

，其中c [0,2]，2

证明：存在ξ (0,2)，使得f (ξ) 0。

2003－2004第一学期《微积分》期末考试试题参考解答

（216学时）

一、填空题：（5×4分）

1、 2 ; 2、 1 ; 3、 二、选择题：（5×4分）

1

; 4、 2 ; 5、 ( ,0) (0, ). x

1）、 C ; 2）、 D ; 3）、 B ; 4）、 A ; 5）、 C . 三、计算下列各题：（5×6分）

11sinx xx

sinx1 cossinx xsinx xx1 cosxxsinx x

1)lim(＝lim() 1) lim( 1)sinx x

x 0x 0x 0xxx

x

sinx x2

xx2

e .

2）y

(2004)

(sin2x)(2004) (sin2x)(2003) 22003sin(2x

2003

) 22003cos2x . 2

3）

cosx1111

arctant sinx 2cosx 2 tanx t 2 t 2t2 1dt

(

或

at bc11 )dt [2x ln(tan2x 1) ln(tanx 2)] C ； 2

t 1t 252

2cosx

= sinx 2cosx51sinx 2cosx

+ sinx 2cosx5cosx 2sinx

sinx 2cosx

＝

21

x＋lnsinx 2cosx＋C. 55

1111111

4）对x [1, )，有0 ln(1 ) ，由 dx收敛，可

1x1 xxx 1x(x 1)x2x2

知

1

11

[ln(1 ) ]dx的收敛。

x1 x

yt dyd()d()2

xdyd( t2)11t

2t35）2= 2ttx 2

dxdxdxdx4tlnt2tlnt

6）由分部积分可知，

ba

xf(x)f (x)dx xf(x)d(f(x))

a

b

1b2

xd(f(x)) a2

x21b2b2a21

f(x)|b f(x)dx f(b) f(a) 2 a a22222

1

四、(8分) 1）、切线方程求得为： 16by 9ax 25 或:

xy

1 . ab

25212 16 912）、S ,记A=,===Aab

F2

2 169 ab25 4S

22dF令=A

da

得a

为所求. ,b ,

即P(

6868

25215511224

或S , 其中 a cos ,b sin 则 ，

2 16 9ab34ab25sin cos 25sin2

即

4

时, 有最小值S

25 .

此时P为所求.

12

五、（7分） V

2

1

(x2

111

)dx x26

六、(8分) （1）因为f(x)在[a,b]上连续，所以F(x)在[a,b]上可微，且

11 2f(x) 2。 f(x)f(x)

（2）由（1）可知F (x) 2 0，所以F(x)在[a,b]上单调递增，又对一切x [a,b],f(x) 0,所

a1b1b

以F(a) dt dt 0，F(b) f(t)dt 0由零点定理及F(x)的单调性

bf(t)af(t)a

可知：F(x) 0 在[a,b]中有且仅有一个实根。

3

七、（7分） 因为f(x)在[0,2]上连续，由积分中值定理知，存在η [,2]，使得

2

f(c)3f(η)

，即f(c) f(η)，故存在[c,η](or[η,c]) [0,2]，f(x)在 f(η)(2 )

222

[c,η](or[η,c]) [0,2]上连续，在(c,η)(or(η,c)) (0,2)内可导，由罗尔定理知，存在ξ (c,η)(or(η,c)) (0,2)，使得f (ξ) 0。

F (x) f(x)

武汉大学数学与统计学院 备用

2003－2004第一学期《微积分》期末考试试题

一、填空题：（5×4分）

1、设f(x)

2x a

x

e(sinx cosx)

x 0x 0

在( , )内连续，则a

xx 1

2、极限lim 。

x 1xlnx

3、星形线x 2cos ，y 2sin 在点(4、曲线y xln(e 5、设

3

3

22,)处的曲率半径为___________. 22

1

)(x 0)的渐近线方程为 x

ax

nn 1

n

的收敛半径为3,则

na(x 1)

n

n 1

n 1

的收敛半径R＝

二、选择题：（5×4分）

1、设f(x)和 (x)在( , )内有定义,f(x)为连续函数,且f(x) 0, (x)有间断点,

则 。 A. [f(x)]必有间断点 B.[ (x)]必有间断点

2

f(x)f(1) f(1 x)

2、设f(x)为可导函数且满足lim 1则过曲线y f(x)上点(1,f(1))处的切

x 02x

线斜率为

A.2 B.-1 C.1 D.-2

C.f[ (x)]必有间断点 D.

(x)

必有间断点

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