3.5 一阶电路的三要素公式

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3.5一阶电路的三要素公式

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Gao Jianning

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一、一阶电路响应的三要素法1、何谓三要素？ y (0+ ):表示该响应(电压或电流)的初始值； y (∞ ):表示响应的稳态值；τ:表示电路的间常数。

2、三要素公式

y(t )= y(∞)+[ y(0+ ) y(∞)]e

τ> 0时：

t

τ

t≥0

上式称为一阶电路在直流电源作用下求解电路全响应的三要素公式。

换路时刻为 t0时的三要素公式为：

y(t)= y(∞)+[ y(t0+ ) y(∞)] eXIDIAN UNIVERSITY10/9/2013 6:01:05 PM

t t0

τ

t≥ t0Gao Jianning

把按三要素公式求解响应的方法称为三要素法。

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3、三要素公式特殊情况在分析含有受控源的动态电路时，有时会遇到τ电路不存在稳态响应，电路是不稳定的。这时三要素公式：即当

<0

时的情况，这时电路故有响应随时间t的增长而无限增大，

τ<0

时： t

y(t)= y( ∞)+[ y(0+ ) y( ∞)] e式中： y ( ∞ )称为虚平衡值，且

τ

t≥0

y ( ∞ )= lim y (t )t→ ∞

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二、三要素法求解步骤如下1、确定初始值 y (0+)初始值y(0+)是指任一响应在换路后瞬间t=0+时的数值，与本章前面所讲的初始值的确定方法是一样的。 (1)、独立初始值的计算换路后瞬间 (t0=0+)电容电压、电感电流的初始值，受换路定律的约束，即

uc ( 0+ )= uc ( 0 ); iL ( 0+ )= iL ( 0 )

则可利用换路前瞬间 t=0-等效电路计算出uC(0-)和iL(0),再由换路定律得到 uC(0+)和 iL(0+)的值。

关键是正确画出 t=0-时刻等效电路！XIDIAN UNIVERSITY10/9/2013 6:01:05 PM

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如何画出 t=0-时刻等效电路？由于t= 0-时电路已处于稳态，则：情况一、若t= 0-时等效电路中有独立源：

电容:用开路线替代；电感:用短路线替代；在t= 0-时等效电路中计算：uc ( 0 ), iL ( 0 )再应用换路定律得：

uc ( 0+ )= uc ( 0 ); iL ( 0+ )= iL ( 0 )

若情况二、 t= 0-时等效电路中没有独立源：因为： uc ( 0+ )= uc ( 0 )= 0; iL ( 0+ )= iL ( 0 )= 0所以：电容视为短路；电感视为开路；XIDIAN UNIVERSITY10/9/2013 6:01:05 PM

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(2)、非独立初始值的确定 1)、画t=0+瞬间等效

电路：uC ( 0+ )

-

+

uC ( 0+ )= U 0≠ 0

U0

-

uC ( 0+ )= 0

CiL ( 0+ )

L

iL ( 0+ )= I 0≠ 0

+

I0

iL ( 0+ )= 0

2)、画出t=0+电路后，即可按一般电阻性电路来求解其它各变量对应的非独立初始值u (0+)、i (0+)。

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2、确定稳态值 y(∞)画t=∞等效电路。暂态过程结束后，电路进入了新的稳态，用此时的电路确定各变量稳态值u(∞)、i(∞)。uC (∞ )

-

+

uC (∞ )= U 0≠ 0CiC (∞ )= 0

uC (∞ )= 0

iC (∞ )= 0

C

iL (∞ )

LuL (∞ )

iL (∞ )= I 0≠ 0

L+uL (∞ )= 0

iL (∞ )= 0

-

在稳态电路中，可按一般电阻性电路来求各变量的稳态值。XIDIAN UNIVERSITY10/9/2013 6:01:05 PM

+

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3、求时间常数τ RC电路中，τ=R0C (s); RL电路中，τ=L/R0 (s);其中，R0是将电路中所有独立源置零后，从C或L两端看进去的等效电路的输入电阻，(即戴维南等效电路中的R0)。XIDIAN UNIVERSITY10/9/2013 6:01:05 PM

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4、应用举例例1图 (a)所示电路中，t=0时将S合上，求t≥0时的 i1、 iL、uL。

解：(1)先求独立初始值：iL(0+)。作t=0-电路，见图(b),电感用短路线代替，则iL ( 0 )= 12 4 A= 3+ 6 3 4 i L (0+ )= i L (0 )= A 310/9/2013 6:01:05 PM

所以XIDIAN UNIVERSITY

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(2)、求非独立初始值 y(0+)。作t=0+电路，见图(C),椐KVL,图(C)左边回路中有：

3i1(0+ )+ 6[i1(0+ ) iL (0+ )]= 1220 i1 ( 0+ )= A得 9图 (C)右边回路中有

uL (0+ )= 6iL (0+ )+ 6[i1 (0+ ) iL (0+ )]

8= V 3XIDIAN UNIVERSITY10/9/2013 6:01:05 PM

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(3)、求f(∞)。作t=∞电路如图(d),电感用短路线代替，则

12 i1 (∞)==2 6×6 3+ 6+6i L (∞ )=uL(∞)=0 (4)、求τ。从动态元件L两端看进去的戴维南等效电阻为：

1 i1 (∞ )= 1 A 2

3× 6= 8 R= 6+ 3// 6= 6+ 3+6τ=L 0 .8 1== 0 .1 S= s R 8 1010/9/2013 6:01:05 PM

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(5)代入三要素公式

y ( t )= y (∞ )+[y ( 0+ ) y (∞ )] e2 20 2 e 10 t= 2+ e 10 t A i1 ( t )= 2+ 9 9

t

τ

t≥0

1 4 i L ( t )= 1+ 1 e 10 t= 1+ e 10 t A 3 3 8 8 u L ( t )= 0+ 0 e 10 t= e 10 t V 3 3

t≥0

t

≥0

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i1 (t)、iL (t)及 uL(t)的波形图：1 iL (t )= 1+ e 10t ( A ) 32 i1 (t )= 2+ e 10t ( A ) 9

u L (t )==

8 10 t e (V 3

)

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例2、t<0时图示电路处于稳定状态，t=0时，开关S合于b点，求：t≥0时的u(t),画出其波形。a S b 2

iL2H 8

+u (t )

解：①求 u(0+):直流电源作用的电路，因电路已处于稳态，在0-时电感L可视作短路，可画出0-时等效电路。所以：iL (0 )= 20V= 2A 10 20V

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