结构动力学题解(2)

第三章 多自由度系统的振动

1、计算题3-1图所示结构的自振频率和对应的振型并验证振型的正交性，设EI等于常数及EA等于常数。 (a)

解：

(1) 用图乘法求各柔度系数：

1 1ll2l1l2l l3

δ11=+l =

EI 222322232 8EI

1 1ll2l l3

2 =δ22=

EI 22434 48EI

1 1ll l1l 1ll2l l3

= δ12=δ21= + + EI 224 434 22434 32EI

(2)求自振频率 根据：δM

1

I=0 ω2

1

m0 1 10 EI32 =0λ= ，则行列式化为： ，令2 23 1 0m ω 01 ωl 48

1l 8 EI 1 32

3

1

m λ81 m321m32=0展开：λ2 0.145833mλ+1.62760×10 3m2=0 1

m λ48

解得：λ1=0.133656mλ2=0.0121775m

ω=

EIEIEI

ω=2.ω=9.06193 12333

λlmlml

(3)求振型

第一振型，将ω1代入 δM

1

I φ=0 ω2 1

1 l

3 8 EI 1 32

1

φ 3 m0 10 ml32 11 =0 0.133656

1 0m 01 φ12 EI 48

令φ11=1 可解得：φ12= 0.276992 故第一振型：φ1=(1 0.276992)

T

同理有：

1 l3 8 EI 1 32

1

3 m0 φ21 ml 10 32 0.0121775 01 φ =0 1 0mEI 22

48

T

令φ21=1 可解得：φ22=3.610332 故第二振型：φ2=(13.610332) (4)验证正交性

1 10

φMφ2=(1 0,276992)m ≈0 01 3.610332

Τ

1

(b)

(1) 用图乘法求各柔度系数：

3l3l3

δ11=δ33= δ22=

256EI48EI11l311l3

δ12=δ21= δ23=δ32=

768EI768EI7l3

δ13=δ31=

768EI

(2)求自振频率 根据：δM

1

I=0 2ω

7

768 m00 100

11 1 EI

m，令00 010=0λ= ， 2 23

ω768 mωl 001

3 00m 256

3 2563 l 11EI 768 7 768

1176814811768

则行列式化为：

3

λ256117687768117681 λ4811768776811

=0 求得:

7683

λ256

λ1=0.04108899633λ2=0.002604166667λ3=0.00057767033

代入ω=

EIEIEIEI

4.9319.6041.60ω=ω=ω= 123

ml3ml3ml3λml3

用Maple计算过程如下：

(3) 求振型 将ω1=4.93可得：φ1=1

EI

ml3

代入 δM

1

I φ=0 ω2 1

(

21

T

)

T

同理可得：φ2=(10 1) φ3=1 21 (4) 验证正交性：

()

T

φ1ΤMφ2=1φ1ΤMφ3

(=(1

φ2ΤMφ3=(1

)

21)mI(1 0 1)mI(1

21mI(10 1)=0

21=0 2

)

1)=0

用Maple计算振型，即为求矩阵的特征向量：

2、图示两个自由度的集中质量系统， 图中，m1=振型。

解：

计算劲度矩阵K

11

m2k1=k2计算自振频率和对应的22

k11=k1k21= k1k12= k1k22=k1+k2

劲度矩阵：

k1

K= k

1

质量矩阵

k1 1 1

=k1 13 k1+k2 0 10 =m1 m2 02

m1

M= 0

2

1 1 10 ω2m12

根据K ωM=0k1 13 ωm1 02 =0 令ξ=k

1 ξ

1

11

ξ2=2 =0解得ξ1=

3 2ξ2

1k1ξ1k1k1ξ12k1ω2m1

可得：ω1=同理ω2= 把ξ1=代入ξ===

2k1m12m1m1m1

把计算的自振频率结果代入K ω2Mφ=0

()

1 T 1 φ 1 1 T11

2 ,令φ=1解得φ=1 同理可求得φ

=(1 1) =0 1112 φ 1 2 13 2× 12 2

3、习题2中的结构，如果对顶层加一水平简谐力F1(t)=F1sint，试确定每层稳态振动幅值的表达式。 解：

2

根据K Mφ=F

()

1 1 10 y1 F1 2 k1 0 = y 02 13 m1

2

将上式展开简化

k1 2m1 y1 F1 k1

= 2 k y03k1 2m1 2 1

解方程，可得：

F13k1 22m1y1=2 2k1 5k12m1+24m12

Fk11 y2=2

242

+2k5km2m1 111

(此题书后答案有误)

4、如图所示集中质量系统的质体m1及m2上，在t=0时，同时受到一突加载荷F(t)=F的作用，如不计阻尼的作用，且m`1=m2=m，试计算质体m1和m2的运动规律。

解：

(1) 计算自振频率和振型

3

1 12 8lδ11= 2l 2l 2l =

EI 233EI

δ22

1 12 l3= l l l =EI 23 3EI

3

1 15 5l

δ12=δ21= l l 2l =

EI 266EI

根据δM

1

I=0 2ω

8ml 3

EI 5 6

35

10 1 10 EI6 令 =0λ=

2 23 1 01 ω 01 ωml 3

8 λ356

1 λ3

56

=0 可解得：

λ1=2.9337λ2=0.0663

ω1=0.5838

则自振频率

EIml3EIml3

ω2=3.8837

对应的振型矩阵：

1 1

φ=

0.32 3.12

(2) 坐标变换

1 q1(t) y1(t) 1

==Φq q(t) 0.32 3.12 y(t)

2 2

(3) 广义质量

10 T*

m1(10.32)=1.1024m=φ1TMφ1=(10.32)m 01

10 T*

()m2=φ2TMφ2=(1 3.12)m 1 3.12=10.73m 01

(4) 广义载荷列阵

F1*(t) 10.32 F 1.32F T

()ΦFF= =t= 1 3.12 F = 2.12F F*(t)

2

*

(5) 求主坐标及位移

q1=

1t*1.32F

()()(1 cosω1t) =τωFsintτdτ11*

ω1∫0m11.1024mω12

1.32Fl3Fl3

(1 cosω1t)=3.5132(1 cosω1t)=

1.1024×0.58382EIEI

t 2.12F1

q2=*∫F2*(τ)sinω2(t τ)dτ=(1 cosω2t)2

m2ω2010.73mω2

2.12Fl3Fl3

(1 cosω2t)= 0.0131(1 cosω2t)=2

10.73×3.8837EIEI

代入变换式：

Fl3Fl3

(1 cosω1t) 0.0131(1 cosω2t)y1(t)=q1(t)+q2(t)=3.5132EIEI

33

Fl

y2(t)=0.32q1(t) 3.12q2(t)=1.,1242(1 cosω1t)+0.0409Fl(1 cosω2t)

EIEI

5、习题4中结构受突加载荷作用，若已知阻尼比ξ1=ξ2=0.05试计算m1和m2的运动规律。 解：

根据杜哈姆积分求出振型坐标响应，并经整理后得：

qj=q1=

Fj

2

m*jωj

×

1 ξjsinωjt+cosωjt

1 ξjωjt2

ξj+1 e

0.05sinω1t+cosω1t

1 e0.05ω1t

F 0.05sinω1t+cosω1t =1 2 e0.05ω1t1.1944mω1 1.32F11.1024mω121+0.052

0.05sinω1t+cosω2t 1 e0.05ω2t

F 0.05sinω2t+cosω2t =1 2 e0.05ω2t0.1971mω2 2.12F1

22

10.73mω21+0.05q2=

计算动力位移

y1(t)=q1(t)+q2(t)=

F1.1 …… 此处隐藏：3990字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……