带有皮亚诺(Peano)型余项的泰勒公式的推广与应用

泰勒公式

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2 5 1 0年 0 1月第2卷第 6 1期

沈阳建筑大学学报 (自然科学版 ) Junl f h na gJ n h ie i Naua Sine o ra o S eyn i z uUn r t a v s y( tr cec) l

NO 2005 V. V0 . 1. No. 12 6

文章编号：6 1 0 12 0 )6 7 4 3 17—2 2 (0 5 0—0 7—0

带有皮亚诺 ( en ) P a o型余项的泰勒公式的推广与应用王倩(阳农业大学基础部，宁沈阳 1 0 6 )沈辽 11 1

摘

要：目的推广带有皮亚诺 (en ) P ao型余项的泰勒公式及应用 .法应用带有皮亚诺型余方

项的泰勒公式。将判断函数极值性和凸凹性的定理进行推广 .结果得到判断函数极值点和曲 线拐点的充分条件 .结论应用放宽条件的带有皮亚诺 P a o型余项的泰勒公式扩展了其使 en )用范围。使计算更加简捷 .

关键词：勒公式；泰极值；号性；点保拐中图分类号： 7 . 012 1文献标识码： A得到极值的另外一种判别法 . 定理 2若 f x)点 z及邻域 U( o (在 o x )内具有阶连续导数，且

0引言 在高等数学教材中，勒中值定理要求函数泰 f(在开区间 ( b内具有直到+1阶导数， )、 ) 在该条件下带有皮亚诺型余项的泰勒公式成立[-]如果将该条件放宽，有皮亚诺型余项 19带.

/ ) (o=厂(o=…= n1 ),’≠0 ) -(o=0 ( ) 如)( )若为 7奇数， 1 1"则 o不是极值点； ( )若 7为偶数，当， ( )< 0时， 2 1"则 () o f o为极大值； f ( )> 0时， ( o为极 ( )当‘’ o fx)小值 . 证明由已知条件及泰勒公式有

的泰勒公式仍然成立 .面给出定理 1 下[ ]定理 1若 f x)点的某邻域 U( )内具 (在 o有一1阶连续导数，厂 ( o存在，对于该且 )z )则邻域内的任一点。有都

, ):f x )二 ( ( o+(—

( )= ( ) o+/ ( 0 (— o+ X) )。+…+ ) — o] ) 证明见参考文献[,]

13 .

(— )+。 ( -X )] 。n[X- 0n

贝 ) (0: _ × 0 (一 X)【二兰(—。一+。 ( )[ (— o+O (— o] )[ )

由于 f ( )≠ 0‘) o,则存在点 o的某一邻域U( )使∈ U( ), ( ) o, o时式 1等号右端由第一项符号决定 ..

带有皮亚诺型余项的泰勒公式建立了函数厂 ( ) 与它的阶导数之间的关系，理论和实践在中具有广泛的应用 .

() r为奇数， 1若/在点 o的某一邻域 U( o x)内，当< o时，— o< 0 ( ); ( )若 7为偶数且 () ) 0时， f x) 2"/ (< o有 (一

1判别函数的极值应用带有皮亚诺型余项的泰勒公式，函数将极值的第二充分条件进行推广，借助高阶导数，可

f x )< 0即对一切∈ U( )有 f x)< (o, o (

f( )故 ( )极大值。 o, o为同理可证 f ( )>‘’ o

收稿日期：0 5 8 0 2 0—0—1基金项目：宁省教育厅高等学校科学研究项目(0 4 0 8辽 20C 5)作者简介：王倩 (9 2,, 17一)女讲师。博士研究生，主要从事应用数学研究

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第2 1卷

王

倩：带有皮亚诺( en )余项的泰勒公式的推广与应用 P a o_￣

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0时， x )极小值 . f( 0为 当> 0,—z ) 0即在 0时 ( 0“>,的左右

若为奇数，则一1为偶数，由定理 2可知

( )=厂(在 0 z )点取得极值，因此厂(在 )0

侧， 1右端变号，式( )因此， 0是极值点 . z不

点两侧异号， (, ( 0 )故 0f z )为拐点 .

2判定函数拐点利用高等数学教材中运用二阶导数的符号判定拐点，一步可得到下面结论：进 若 ( )在点 0邻域 U( 0及 z )内具有三阶

3算例 对于多次应用罗必塔法则求未定式的极限问题，若运用带有皮亚诺型余项的泰勒公式会使计算更加简捷 . ()极限 l ( 1求 i m一 )

连续导数，厂( 0且 )= 0厂 ( ) 0则(,, 0≠, 0( 0 )为曲线的拐点 . z)

证明

由导数定义有

解设 z=÷,则当 z一+o时，一 0。 t: l i m

厂(。 l ): i mp 工 10

有‘. -0

l i m(。

一￣ 4 23:/ _ x) x:

-工一工0 .

由于厂 ( ) 0不妨设厂 ( ) 0由极 0≠, 0>,限的保号性，在点 0的某个去心邻域 U( )存 0,当 z∈ ( O -有 ￣ )￣, T, j -z—

l ( l 3 -i - t i f+ t f 2) m - 1‘

1+0 t一[一÷t ()+t ( ) 1+0 t]‘. -0

> 0 .0

(———— —‘

—一

)=

即当—z>0厂(>0当—< 0时， ); 0 0时， (厂 )< 0因此点( of x ) z, ( 0 )为曲线的拐点 . 由以上结论可得到更一般的情形： 定理 3若 f x)点 0 (在及邻域 U( 0 x )内‘ .0 -

昔t ()。+0 t —

t—

_ 2

( )函数 f( ) +2的极值和拐 2求 =z ( )点.

具有阶连续导数，厂( o且 z )=厂 ( )_ .= o一 ‘一 0 ( )= 0 f ( )≠ 0贝，‘ 0,0

解由于厂( )= z (+2 7 )(x+8, )所

以：,: 2:粤是函的点求 0一，一 数驻，f )的二阶导数为 (

() 1若为偶数，点 (, ( )一定不是则 0 f 0 )曲线的拐点；

厂( )= 6 x+2 ( x x )7+1 x+8, 6 )

() 2若为奇数，点 (, ( 0 )曲线的则 0 f x )为拐点.

得： 0: 0厂( ):0厂( ),一2及 ( 8) 0一百<,

证明 ( )令 g x)=厂( )g ( 1 ( z, z)= 厂 (,, (-) )= f￣I )由条件 z)… gn3( (- (

所以， )在 z:一 8时取得极大值 (.

求三阶导数得10 2 x+3 ) 2

.

( )= 6 3 x x( 5+1 0+ 2x

厂( 0 z )=厂 ( 0 z )=…:f ( )=0‘一 0’可得： ( 0 g x )= g ( 0 z )=…= g ( 0 (一 z )= 0,g(-) )=, ( ) 0 n2( 0‘ 0≠

有厂 (), ( ), 0=0厂一2>0由定理 2扎=3,为奇数， ) f(在=一2可能

取得极值；不由定理 3得(, )曲线的拐点 .一2 0为 求四阶导数得： ( )=2 ( 5+9 x 厂 ( 43x 0+

若为偶数，则一2为偶数，由定理 2可知

g )点 0 (在处取得极值，就是在 0取得极也点

值，由极值定义，在点。的某个去心邻域内，对任一

6x+8,厂 ()> 0由定理 2= 4为偶 0 )有 ( 0,,数，以 f z)所 (在= 0时取得极小值；由定理 3 得 (, )一定不是曲线的拐点 . 00

,

有厂(>厂( )厂(<厂( )故 ) 0或 ) 0,

( 0f x )一定不是拐点 . z, ( 0)

() 2令 ( )=厂(, ( z ) ):厂(, )…,

参考文献：

由可 ( (、譬件得-x,:…陈数分¨京 条‘ n(, )=… ¨於干姒 小高教出 t), )学析：育等。。盖 ‘千扎姒司‘一 0 ( )= 0‘一 0, ( )≠ 0 []同济大学应用数学系高等数学[ . 2 M]北京：高等教.

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沈阳建筑大学学报 (自然科学版 )

第 2卷 1

育出版社，0 2 20 .华东师范大学数学系 .数学分析[ . M]北京：等教高育出版社， 0 1 20 . 刘大任 .解条件极值问题的两个充分条件【]沈求 J.

B r e t A。 ih e Z e lrK Bye n. lu u a t n R M c a l R. ig e E. l e Cac l s f rB i es E o o c, i ce c s a d S ca c— o u n s, c n mis L f S in e n o il i s e S

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