2015届高考数学(理)二轮专题配套练习：函数与导数

函数与导数

1．求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根、被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏．

对抽象函数，只要对应关系相同，括号里整体的取值范围就完全相同．

[问题1] 函数y

的定义域是________．

10 答案 42．用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题．

[问题2] 已知f(cos x)＝sin2x，则f(x)＝________.

答案 1－x2(x∈[－1,1])

3．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数．

x e，x<0， 1 ＝________. [问题3] 已知函数f(x)＝ 则f f e ln x，x>0，

1答案 e

4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．

lg 1－x2 [问题4] f(x)________函数(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)． |x－2|－2

答案 奇

1－x2>0， 解析 由 得定义域为(－1,0)∪(0,1)， |x－2|－2≠0

lg 1－x2 lg 1－x2 f(x)＝＝. － x－2 －2－x

∴f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数．

5．弄清函数奇偶性的性质

(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．

(2)若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．

(3)若奇函数f(x)的定义域中含有0，则必有f(0)＝0.

故“f(0)＝0”是“f(x)为奇函数”的既不充分也不必要条件．

2[问题5] 设f(x)＝lg 1－xa 是奇函数，且在x＝0处有意义，则该函数为( )

A．(－∞，＋∞)上的减函数

B．(－∞，＋∞)上的增函数

C．(－1,1)上的减函数

D．(－1,1)上的增函数

答案 D

解析 由题意可知f(0)＝0，即lg(2＋a)＝0，

解得a＝－1，

故f(x)＝lg 1＋x，函数f(x)的定义域是(－1,1)， 1－x

1＋xlg(1＋x)－lg(1－x)， 1－x在此定义域内f(x)＝lg

函数y1＝lg(1＋x)是增函数，函数y2＝lg(1－x)是减函数，故f(x)＝y1－y2是增函数．选D.

6．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接，或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．

1[问题6] 函数f(x)＝________． x

答案 (－∞，0)，(0，＋∞)

7．求函数最值(值域)常用的方法：

(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数．

(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数．

(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数．

(4)导数法：适合于可导函数．

(5)换元法(特别注意新元的范围)．

(6)分离常数法：适合于一次分式．

(7)有界函数法：适用于含有指数函数、对数函数或正、余弦函数的式子．无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，特别是基本不等式法，并且要优先考虑定义域．

2x

[问题7] 函数y＝(x≥0)的值域为________． 2＋1

1 答案 2，1

y解析 方法一 ∵x≥0，∴2x≥1，≥1， 1－y

1解得≤y<1. 2

1 ∴其值域为y∈ 2，1 .

方法二 y＝1－

1 ∴y∈ 2，1 .

8．函数图象的几种常见变换

(1)平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x而言)；上下平移——“上加下减”．

(2)翻折变换：f(x)→|f(x)|；f(x)→f(|x|)．

(3)对称变换：①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；

②函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称；

③函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于直线x＝0 (y轴)对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于直线y＝0(x轴)对称．

[问题8] 函数y＝|log2|x－1||的递增区间是________．

答案 [0,1)，[2，＋∞)

|log2 x－1 | x>1 ，解析 ∵y＝ |log2 1－x | x<1 ， 111∵x≥0，∴0<， 2＋12＋12

作图可知正确答案为[0,1)，[2，＋∞)．

9．有关函数周期的几种情况必须熟记：(1)f(x)＝f(x＋a)(a>0)，则f(x)的周期T＝a；(2)f(x＋

1a)f(x)≠0)或f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)的周期T＝2a. f x

1[问题9] 对于函数f(x)定义域内任意的x，都有f(x＋2)＝－，若当2<x<3时，f(x)＝x，f x

则f(2 012.5)＝________.

2答案 5

10．二次函数问题

(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合．二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系．

(2)二次函数解析式的三种形式：

①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；

②顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；

③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．

(3)一元二次方程实根分布：先观察二次系数，Δ与0的关系，

对称轴与区间关系及有穷区间

端点函数值符号，再根据上述特征画出草图．

尤其注意若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形．

[问题10] 若关于x的方程ax2－x＋1＝0至少有一个正根，则a的范围为________．

1－∞， 答案 4

11．(1)对数运算性质

已知a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0.

则loga(MN)＝logaM＋logaN，

MlogalogaM－logaN， N

logaMn＝nlogaM，

logN对数换底公式：logaNlogba

n1推论：logamNn＝logaN；logab＝mlogba

(2)指数函数与对数函数的图象与性质

可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数y＝ax的图象恒过定点(0,1)，对数函数y＝logax的图象恒过定点(1,0)．

[问题11] 函数y＝loga|x|的增区间为_________________．

答案 当a>1时，(0，＋∞)；当0<a<1时，(－∞，0)

12．幂函数

形如y＝xα(α∈R)的函数为幂函数．

(1)①若α＝1，则y＝x，图象是直线．

②当α＝0时，y＝x0＝1(x≠0)图象是除点(0,1)外的直线．

③当0<α<1时，图象过(0,0)与(1,1)两点，在第一象限内是上凸的．

④当α>1时，在第一象限内，图象是下凸的．

(2)增减性：①当α>0时，在区间(0，＋∞)上，函数y＝xα是增函数，②当α<0时，在区间(0，＋∞)上，函数y＝xα是减函数．

1x[问题12] 函数f(x)＝x－ 2的零点个数为( )

A．0 B．1 C．2 D．3

答案 B

13．函数与方程

(1)对于函数y＝f(x)，使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．事实上，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根．

12

(2)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续曲线，且有f(a)f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间[a，b]内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，此时这个c就是方程f(x)＝0的根．反之不成立．

[问题13] 已知定义在R上的函数f(x)＝(x2－3x＋2)·g(x)＋3x－4，其中函数y＝g(x)的图象是一条连续曲线，则方程f(x)＝0在下面哪个范围内必有实数根( )

A．(0,1) B．(1,2) C …… 此处隐藏：2399字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……