高等数学电子教案同济版第四章4-1

高等数学电子教案同济版第四章

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一、原函数与不定积分的概念定义： 定义： 如果在区间 I 内，可导函数 F ( x ) 的导函数为 f ( x ) , x ∈ I ,都有 F ′( x ) = f ( x ) 即

或dF ( x ) = f ( x )dx ,那么函数 F ( x ) 就称为 f ( x )或 f ( x )dx 在区间 I 内原函数. 原函数.

例

(sin x )′ = cos x′

sin x 是cos x 的原函数 的原函数.

1 (ln x ) = ( x > 0) x 1 ln x 是 在区间( 0,+∞ ) 内的原函数 内的原函数. x

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原函数存在定理： 原函数存在定理：内连续， 如果函数 f ( x ) 在区间 I 内连续，

那么在区间 I 内存在可导函数 F ( x ) , 使 x ∈ I ,都有 F ′( x ) = f ( x ) .

简言之：连续函数一定有原函数. 简言之：连续函数一定有原函数 问题： 原函数是否唯一？ 问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 若不唯一它们之间有什么联系？ 例

(sin x ) = cos x

′

(sin x + C )′ = cos x为任意常数) (C 为任意常数)

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关于原函数的说明： 关于原函数的说明：(1)若 F ′( x ) = f ( x ) ,则对于任意常数 C , )

F ( x ) + C 都是 f ( x ) 的原函数 的原函数.2) 的原函数， (2)若 F ( x ) 和 G ( x ) 都是 f ( x ) 的原函数， 则 G ( x) F ( x) = C 为任意常数) ( C为任意常数) 证 Q [G ( x) F ( x)]′ = G′( x) F ′( x)

= f ( x) f ( x) = 0∴ G ( x) F ( x ) = C ( C为任意常数) 为任意常数) 的原函数， 即若F ( x ) 是 f ( x ) 的原函数，则F( x) + C 是f ( x ) 的全体 原函数

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不定积分的定义： 不定积分的定义：在区间 I 内， 函数 f ( x ) 的带有任意常数项的原函数 称为 f ( x ) 在区间 I 内的不定积分， 不定积分，记为 ∫ f ( x )dx .

被 ∫积 f (被 x )dx = F积 ( x ) + C任 分 号 积 函 数 积 表 达 式 分 变 量 意 常 数

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例1 求 ∫ x dx .6 x x 5 5 解 Q = x , ∴ ∫ x dx = + C. 6 6

5

6

′

1 dx . 例2 求 ∫ 2 1+ x 解 Q (arctan x )′ =

1 , 2 1+ x

1 dx = arctan x + C . ∴ ∫ 2 1+ x

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设曲线通过点( , ), ),且其上任一点处的 例3 设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程 解 设曲线方程为 y = f ( x ),

dy 根据题意知 = 2x , dx 的一个原函数. 即 f ( x ) 是2 x 的一个原函数Q ∫ 2 xdx = x + C ,2

∴ f ( x) = x2 + C ,

由曲线通过点( , ) 由曲线通过点(1,2) C = 1,2 所求曲线方程为 y = x + 1.

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积分曲线. 函数 f ( x ) 的原函数的图形称为 f ( x ) 的积分曲线

显然，求不定积分得到一积分曲线族 显然，求不定积分得到一积分曲线族. 由不定积分的定义， 由不定积分的定义，可知

d ∫ f ( x)dx = f ( x), dx

[

]

d[∫ f ( x)dx] = f ( x)dx,

∫ F ′( x )dx = F ( x ) + C , ∫

dF ( x ) = F ( x ) + C .结论： 结论： 微分运算与求不定积分的运算是互逆 互逆的 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.

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二、 基本积分表′ x xµ+1 实例 = xµ ∫ xµdx = + C. µ +1 µ +1 (µ ≠ 1)µ+1

能否根据求导公式得出积分公式？ 启示 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式. 因此可以根据求导公式得出积分公式

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基 (1) 本 (2) 积 分 ( 3) 表

x ∫ x dx = µ+1+C (µ ≠ 1); dx ∫ x = ln x + C ; dx = ln x + C , 说明： 说明： x > 0, ∫ x 1 1 ( x )′ = , x < 0, [ln( x )]′ = x x dx dx ∫ = ln( x ) + C , ∴ ∫ = ln | x | + C , x xµ

∫ kdx = kx ++C µ 1

是常数 ( k是常数);

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1 ( 4) ∫ dx = arctan x + C ; 2 1+ x 1 ( 5) ∫ dx = arcsin x + C ; 2 1 x (6) ∫ cos xdx = sin x + C ;

(7)( 8)

∫ sin xdx = cos x + C ; dx 2 ∫ cos 2 x = ∫ sec xdx = tan x + C ;

dx (9) ∫ 2 = ∫ csc 2 xdx = cot x + C ; sin x

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(10) ∫ sec x tan xdx = sec x + C ;

(11) ∫ csc x cot xdx = csc x + C ;

e x dx = e x + C ; ∫ ax x (13) ∫ a dx = + C; ln a (14) ∫ sinh xdx = cosh x + C ; (12)(15) ∫ cosh xdx = sinh x + C ;

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2 例4 求积分 ∫ x xdx .

解

x 2 xdx = ∫ x dx ∫

5 2

xµ+1 xµdx = +C 根据积分公式( ) 根据积分公式(2)∫ µ +1x 2 7 = + C = x2 + C. 5 7 +1 25 +1 2

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三、 不定积分的性质(1)证

∫ [ f ( x ) ± g( x )]dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx;

[∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx ] ′ ′ = [∫ f ( x )dx ] ± [∫ g ( x )dx ] = f ( x ) ± g ( x ).Q∴ 等式成立 等式成立.

′

(此性质可推广到有限多个函数之和的情况) 此性质可推广到有限多个函数之和的情况)

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( 2)

∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx .是常数， ( k 是常数， k ≠ 0 )

3 2 )dx . 例5 求积分 ∫ ( 2 2 1+ x 1 x 3 2 解 ∫( )dx 2 2 1+ x 1 x 1 1 dx 2 ∫ dx = 3∫ 2 2 1+ x 1 x = 3 arctan x 2 arcsin x +C

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1+ x + x dx . 例6 求积分 ∫ 2 x (1 + x )2

解

1 + x + x2 x + (1 + x 2 ) ∫ x(1 + x 2 ) dx = ∫ x(1 + x 2 ) dx

1 1 1 1 = ∫ dx + ∫ dx dx = ∫ 2 + 2 x 1+ x x 1+ x

= arctan x + ln x + C .