3第三节极坐标图

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第三节 极坐标图

9/23/2014

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极坐标图也称奈奎斯特(Nyquist)图。它是在复平面上用一条 曲线表示w由0→∞时的频率特性。即用矢量G(jw)的端点轨迹形 成的图形。w是参变量。在曲线上的任意一点可以确定对应该点 频率的实频、虚频、幅频和相频特性。 极坐标图是以开环频率特性的实部为直角坐标横坐标，以 其虚部为纵坐标，以w为参变量画出幅值与相位之间的关系。根据频率特性和传递函数的关系，可知：频率特性曲线是S 平面上变量s沿正虚轴变化时在G(s)平面上的映射。

由于幅频特性是w的偶函数，而相频特性是w的奇函数，所 以当w从0→∞ 的频率特性曲线和w从-∞→0的频率特性曲线是 对称于实轴的。 极坐标图的优点是可在一张图上绘出整个频率域的频率响 应特性；缺点是不能明显地表示出开环传递函数中每个典型环 节的作用。9/23/2014

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一、典型环节的极坐标图 ⒈ 比例环节：

G( s ) K ;

G( jw ) K

P(w ) K;虚频特性：Q(w ) 0; 实频特性：

(w ) 0 A(w ) K ;相频特性： 幅频特性：比例环节的极坐标图为 实轴上的K点。 K

Im

Re

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积分环节的奈氏图

⒉ 积分环节的频率特性：G ( s )

K s K K K 2 j j e 频率特性： G( jw ) jw w w K K A(w ) (w ) tg 1 ( 0)

w P(w ) 0

Q (w )

K

w

2

w

积分环节的极坐标图为负虚 轴。频率w从0+→∞特性曲线 由虚轴的-∞趋向原点。 若考虑负频率部分，当频率 w从-∞→ 0-,特性曲线由虚 轴的原点趋向+∞ 。9/23/2014

w 0

Im

w Rew

w 0

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惯性环节的奈氏图

K G( s) ⒊ 惯性环节的频率特性： Ts 1 K A(w ) , (w ) tg 1Tw 1 T 2w 2 K KTw P(w ) , Q (w ) 2 2 1 T w 1 T 2w 2

G ( jw )

K Tjw 1

Imw

w 0时：A(0) K, (0) 0P(0) K,Q(0) 0Re1 1 K 1 w 时：A( ) , ( ) 45 T T T 2 1 K 1 K P ( ) ,Q ( ) T 2 T 2

0w 1 T

w 0

w 时：A( ) 0, ( ) 90 P( ) 0,Q( ) 05

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惯性环节的奈氏图

极坐标图是一个圆，对 称于实轴。证明如下：

Im

K P (w ) 1 T 2w 2 KTw Q (w ) 1 T 2w 2Q (w ) Tw P(w )

w Re 0w 1 T

w 0

P

K K 1 T 2w 2 1 ( Q )2 P

整理得： ( P K )2 Q 2 ( K )2 2 29/23/2014

下半个圆对应于正频率部 分，而上半个圆对应于负 频率部分。 6

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振荡环节的频率特性

K Kwn 2 ⒋ 振荡环节的频率特性： G( s) 2 2 T s 2 Ts 1 s 2 w n s wn 22

讨论 0 1时的情况。当K=1时，频率特性为：G( jw ) 1 (1 T 2w 2 ) j 2 wT

实频、

虚频、幅频和相频特性分别为： 1 T 2w 2 2 wT P(w ) , Q(w ) 2 2 2 2 2 2 (1 T w ) 4 w T (1 T 2w 2 )2 4 2w 2T 2A(w ) P(w ) 2 Q(w ) 2 1

1 (1 T 2w 2 ) 2 (2 wT ) 2

Q(w ) 1 2 wT (w ) tg tg P(w ) 1 T 2w 29/23/2014

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振荡环节的奈氏图

1 T 2w 2 P(w ) (1 T 2w 2 )2 4 2w 2T 2 2 wT Q (w ) (1 T 2w 2 )2 4 2w 2T 2 1 A(w ) (1 T 2w 2 )2 (2 wT )2

(w ) tg 1

2 w T 1 T 2w 2

当w 0时，A(w ) 1, (w ) 0 P(w ) 1, Q(w ) 0 1 1 A(w ) , (w ) ; 当w 时， 2 2 T 1 P(w ) 0, Q (w ) 2 当w 时， A(w ) 0, (w ) P(w ) 0, Q(w ) 0

w

w 0

k 1, T 1, 0.79/23/2014

G (s)

1 s 1.4 s 12

Q(w ) 0 , 当w 0 时， 曲线在3,4象限；当 w 0 时，与之对称 于实轴。 实际曲线还与阻尼系数 有关。

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振荡环节的奈氏图

Im-1 0 .1

w w 0 2 1-1

0

1

0.6 0 .5 0.4 0 .3

由图可见无论是欠 Re 阻尼还是过阻尼系 0 .1 统，其图形的基本 形状是相同的。 当过阻尼时，阻尼 系数越大其图形越 接近圆。 0.8 0.7

当

1 2

时，

有谐振峰值。1 2 2 wp TM p A(w p ) 1 2 1 2

-2

0.29/23/2014

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微分环节的频率特性

⒌ 微分环节的频率特性： 微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。传递函 数分别为： G( s) s

G( s) 1 Ts G( s) T 2 s 2 2 Ts 1 频率特性分别为： G( jw ) jw

G( jw ) 1 jTw G( jw ) 1 T 2w 2 j 2 wT

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纯微分环节的奈氏图

① 纯微分环节： G( s) sA(w ) w , ,w 0 (w ) 2 , w 0 2

G( jw ) jw

w

Im

P(w ) 0 ,

Q(w ) ww 0

微分环节的极坐标图为 正虚轴。频率w从0→∞ 特性曲线由原点趋向虚 轴的+∞。9/23/2014

Re

w 11

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一阶微分环节的奈氏图

② 一阶微分： G(s) 1 TsP(w ) 1 ,Q(w ) Tw

G( jw ) 1 jTw

A(w ) 1 T 2w 2, (w ) tg 1Tww

Im 一阶微分环节的极坐标 图为平行于虚轴直线。 频率w从0→∞特性曲线 相当于纯微分环节的特 性曲线向右平移一个单 位。

w 0

Re

w 9/23/2014

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二阶微分环节的频率特性

G(s) T 2 s 2 2 Ts 1 G( jw) 1 T 2w 2 j 2 Tw ③ 二阶微分环节：A(w ) (1 T 2w 2 ) 2 ( 2 w T ) 2, (w ) tg 1 2 w T 1 T 2w 2

P(w ) 1 T 2w 2 ,w w 1 T

Q(w ) 2 wTIm

2

w 00 1

Re

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延迟环节的奈氏图

⒍ 延迟环节的频率特性： 传递函数

: G(s) e s 频率特性： G( jw ) e j w 幅频特性：A(w ) 1 相频特性： (w ) w ( rad ) 57.3w (deg)

Im

1 0

Re

w 0

极坐标图是一个圆心在原点， 半径为1的圆。

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小结 比例环节的极坐标图 积分环节的极坐标图 惯性环节的极坐标图—极坐标图为圆。 振荡环节的极坐标图 微分环节的极坐标图—有三种形式：纯微分、一阶微分和二 阶微分。 延迟环节的极坐标图

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二、增加零极点对极坐标图形状的影响 K 设 G1 ( s ) Im T1s 1 K w A(w ) 1 T12w 2 0 (w ) tg 1T …… 此处隐藏：1602字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……