第三节 矩阵的基本运算

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第三节矩阵的基本运算

http://doc.guandang.net/sxsykc/jxnr/mat3.htm

§3.1加和减§3.2矩阵乘法§3.2.1矩阵的普通乘法§3.2.2矩阵的Kronecker乘法§3.3矩阵除法§3.4矩阵乘方§3.5矩阵的超越函数§3.6数组运算§3.6.1数组的加和减§3.6.2数组的乘和除§3.6.3数组乘方§3.7矩阵函数§3.7.1三角分解§3.7.2正交变换§3.7.3奇异值分解§3.7.4特征值分解§3.7.5秩§3.1加和减如矩阵A和B的维数相同，则A+B与A-B表示矩阵A与B的和与差.如果矩阵A和B的维数不匹配，Matlab会给出相应的错误提示信息.如： A= B= 1 2 3 1 4 7 4 5 6 2 5 8 7 8 0 3 6 0 C=A+B返回： C= 2 6 10 6 10 14 10 14 0如果运算对象是个标量(即1×1矩阵),可和其它矩阵进行加减运算.例如： x= -1 y=x-1= -2 0 -1 2 1

§3.2矩阵乘法Matlab中的矩阵乘法有通常意义上的矩阵乘法，也有Kronecker乘法，以下分别介绍.§3.2.1矩阵的普通乘法矩阵乘法用“ *”符号表示，当A矩阵列数与B矩阵的行数相等时，二者可以进行乘法运算，否则是错误的.计算方法和线性代数中所介绍的完全相同.如：A=[1 2; 3 4]; B=[5 6; 7 8]; C=A*B,结果为

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2012/9/12 17:39

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C=×=

=

即Matlab返回：C = 19 22 43 50如果A或B是标量，则A*B返回标量A

（或B）乘上矩阵B

（或A

）的每一个元素所得的矩阵．§

3.2.2 矩阵的Kronecker乘法 对n×m阶矩阵A和p×q阶矩阵B，A和B的Kronecher乘法运算可定义为：

由上面的式子可以看出，Kronecker乘积AB表示矩阵A的所有元素与B之间的乘积组合而成的较大的矩

阵，BA则完全类似．AB和BA均为np×mq矩阵，但一般情况下ABBA．和普通矩阵的乘法不

同，Kronecker乘法并不要求两个被乘矩阵满足任何维数匹配方面的要求．Kronecker乘法的Matlab命令为

C=kron(A,B)，例如给定两个矩阵A和B：

A= B=

则由以下命令可以求出A和B的Kronecker乘积C：

A=[1 2; 3 4]; B=[1 3 2; 2 4 6]; C=kron(A,B)

C =

1 3 2 2 6 4

2 4 6 4 8 12

3 9 6 4 12 8

6 12 18 8 16 24

作为比较，可以计算B和A的Kronecker乘积D，可以看出C、D是不同的：

A=[1 2; 3 4]; B=[1 3 2; 2 4 6]; D=kron(B,A)

D =

1 2 3 6 2 4

3 4 9 12 6 8

2 4 4 8 6 12

6 8 12 16 18 24

§3.3 矩阵除法

在Matlab中有两种矩阵除法符号：“＼”即左除和“／”即右除．如果A矩阵是非奇异方阵，则A\B是A的

逆矩阵乘B，即inv(A)*B；而B/A是B乘A的逆矩阵，即B*inv(A)．具体计算时可不用逆矩阵而直接计算．

通常：

x=A\B就是A*x=B的解；

x=B/A就是x*A=B的解.

当B与A矩阵行数相等可进行左除．如果A是方阵，用高斯消元法分解因数．解方程：A*x(:, j)=B(:, j)，式中

的(:, j)表示B矩阵的第j列，返回的结果x具有与B矩阵相同的阶数，如果A是奇异矩阵将给出警告信息．

如果A矩阵不是方阵，可由以列为基准的Householder正交分解法分解，这种分解法可以解决在最小二乘法中

的欠定方程或超定方程，结果是m×n的x矩阵．m是A矩阵的列数，n是B矩阵的列数．每个矩阵的列向量最多有

k个非零元素，k 是A的有效秩．

右除B/A可由B/A=(A'\B')'左除来实现．

§3.4矩阵乘方

A^P意思是A的P次方．如果A是一个方阵，P是一个大于1的整数，则A^P表示A的P次幂，即A自乘P次．如

果P不是整数，计算涉及到特征值和特征向量的问题，如已经求得：[V,D]=eig(A)，则：

A^P=V*D.^P/V（注：这里的.^表示数组乘方，或点乘方，参见后面的有关介绍）

如果B是方阵， a是标量，a^B就是一个按特征值与特征向量的升幂排列的B次方程阵． 如果a和B都是矩

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阵，则a^B是错误的．

§3.5

矩阵的超越函数在Matlab中解释exp(A)和sqrt(A)时曾涉及到级数运算，此运算定义在

A的单个元素上．

Matlab可以计算矩阵

的超越函数，如矩阵指数、矩阵对数等．

一个超越函数可以作为矩阵函数来解释，例如将“m”加在函数名的后边而成expm(A)和sqrtm(A)，当

Matlab运行时，有下列三种函数定义：

expm 矩阵指数

logm 矩阵对数

sqrtm 矩阵开方

所列各项可以加在多种m文件中或使用funm．请见应用库中sqrtm.m，1ogm.m，funm.m文件和命令手册．

§3.6数组运算

数组运算由线性代数的矩阵运算符“*”、“/”、“\”、“^”前加一点来表示，即为“.*”、“./”、“.

\”、“.^”．注意没有“.+”、“.-”运算．

§3.6.1数组的加和减

对于数组的加和减运算与矩阵运算相同，所以“+”、“-”既可被矩阵接受又可被数组接受．

§3.6.2数组的乘和除

数组的乘用符号.*表示，如果A与B矩阵具有相同阶数，则A.*B表示A和B单个元素之间的对应相乘．例如

x=[1 2 3]; y=[ 4 5 6];

计算z=x.*y

结果z=4 10 18

数组的左除（.\）与数组的右除（./），由读者自行举例加以体会．

§3.6.3 数组乘方

数组乘方用符号.^表示．

例如：键入：

x=[ 1 2 3]

y=[ 4 5 6]

则z=x.^y=[1^4 2^5 3^6]=[1 32 729]

(1) 如指数是个标量，例如x.^2，x同上，则：

z=x.^2=[1^2 2^2 3^2]=[ 1 4 9]

(2) 如底是标量，例如2 .^[x y] ，x、y同上，则：

z=2 .^[x y]=[2^1 2^2 2^3 2^4 2^5 2^6]=[2 4 8 16 32 64]

从此例可以看出Matlab算法的微妙特性，虽然看上去与其它乘方没什么不同，但在2和“．”之间的空格很

重要，如果不这样做，解释程序会把“．”看成是2的小数点． Matlab看到符号“^”时，就会当做矩阵的幂来

运算，这种情况就会出错，因为指数矩阵不是方阵．

§3.7 矩阵函数

Matlab的数学能力大部分是从它的矩阵函数派生出来的，其中一部分装入Matlab本身处理中，它从外部的

Matlab建立的M文件库中得到，还有一些由个别的用户为其自己的特殊的用途加进去的．其它功能函数在求助

程序或命令手册中都可找到．手册中备有为Matlab提供数学基础的LINPACK和EISPACK软件包，提供了下面四

种情况的分解函数或变换函数：

(1)三角分解；(2)正交变换；(3) 特征值变换；(4)奇异值分解．

§3.7.1三角分解

最基本的分解为“LU”分解，矩阵分解为两个基本三角矩阵形成的方阵，三角矩阵有上三角矩阵和下三角

矩阵．计算算法用高斯变量消去法．

从lu函数中可以得到分解出的上三角与下三角矩阵，函数inv得到矩阵的逆矩阵，det得到矩阵的行列式．解

线性方程组的结果由方阵的“\”和“/”矩阵除法来得到．

例如：

A=[ 1 2 3

4 5 6

7 …… 此处隐藏：4487字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……