同济大学线性代数课件第四章 (3)

第四章 向量组的线性相关性

§1

向量组及其线性组合

定义：n 个有次序的数 a1, a2, …, an 所组成的数组称为n 维向

量，这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 ai 称为第 i个分量.

分量全为实数的向量称为实向量. 分量全为复数的向量称为复向量.

备注： 本书一般只讨论实向量(特别说明的除外) . 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量. 所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作 列向量. 本书中，列向量用黑色小写字母 a, b, a, b 等表示，行向 量则用 aT, bT, aT, bT 表示.

定义：若干个同维数的列向量(行向量)所组成的集合称为

向量组. 当R(A) < n 时，齐次线性方程组 Ax = 0 的全体解组成的向 量组含有无穷多个向量. a11 A34 a21 a 31 a12 a22 a32 a13 a23 a33有限向量组

b a14 a24 a1 , a 2 , a 3 , a 4 b b a34

T 1 T 2 T 3

结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应.

定义：给定向量组 A:a1, a2, …, am , 对于任何一组实数 k1, k2, …, km ,表达式 k1a1 + k2a2 + … + kmam 称为向量组 A 的一个线性组合. k1, k2, …, km 称为这个线性组合的系数. 定义：给定向量组 A:a1, a2, …, am 和向量 b,如果存在一组 实数 l1, l2, …, lm ,使得 b = l1a1 + l2a2 + … + lmam 则向量 b 是向量组 A 的线性组合，这时称向量 b 能由向量组 A 的线性表示.

1 0 0 例：设 E e1 , e2 , e3 0 1 0 0 0 1

e1 , e2 , e3 的 线性组合

2 1 0 0 那么 b 3 2 0 3 1 7 0 2e1 3e2 7e3 7 0 0 1 线性组合的系数一般地，对于任意的 n 维向量b ,必有 b1 1 0 0 0 b 0 1 0 2 0 b b3 b1 0 b2 0 b3 1 bn 0 0 0 0 1 b n

b1 1 0 0 b 0 1 2 0 b b3 b1 0 b2 0 b3 1 0 0 0 b n 1 0 En 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0

0 0 bn 0 1 0 0 0 1

n 阶单位矩阵 En 的列向量叫做 n 维单

位坐标向量.

回顾：线性方程组的表达式1. 一般形式 3 x1 4 x2 x3 5 x1 x2 2 x3 1

2. 增广矩阵的形式

3 4 1 5 1 1 2 1 4. 向量组线性组合的形式

3. 向量方程的形式 x1 3 4 1 5 x2 1 1 2 1 x3

3 4 1 5 x1 x2 x3 1 1 2 1

方程组有解？

5 3 4 1 向量 是否能用 , , 线性表示？ 1 1 2 1

结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应. x1 a11 x2 a21 , am x m a n1 a11 a21 a n1 a12 a22 an 2 a12 a22 an 2 a1m x1 a2 m x2 anm xm

x1a1 x2a2

xm am a1 , a2 ,

b l1a1 l2a2

lmam

P.83 定理1 的结论： 向量b 能由 向量组 A 线性表示

a1m l1 a 2 m l2 b anm lm

线性方程组 Ax = b 有解

R( A) R( A, b)

定义：设有向量组 A:a1, a2, …, am 及 B:b1, b2, …, bl , 若 向量组 B 中的每个向量都能由向量组 A 线性表示，则称向 量组 B 能由向量组 A 线性表示.

若向量组 A 与向量组 B 能互相线性表示，则称这两个向量组等价.

设有向量组 A:a1, a2, …, am 及 B:b1, b2, …, bl , 若向量组 B 能由向量组 A 线性表示，即b1 k11a1 k21a2 b2 k12 a1 k22 a2 bl k1l a1 k2 l a2 k m 1a m km 2am kml am线性表示的 系数矩阵

b1 , b2 ,

, bl a1 , a2 ,

k11 k21 , am km 1

k12 k 22 km 2

k1l k2 l k ml m l

若 Cm×n = Am×l Bl×n ,即 c11 c21 cm 1 c12 c22 cm 2 c1n a11 c2 n a21 cmn am 1 a12 a22 am 2 a1l b11 a2 l b21 aml bl 1 b12 b22 bl 2 b12 b22 bl 2 b1n b2 n bln b1n b2 n bln

则

c1 , c2 ,

, cn a1 , a2 ,

b11 b21 , al bl 1

结论：矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示， B 为这一线性表示的系数矩阵.

若 Cm×n = Am×l Bl×n ,即 c11 c21 cm 1 c12 c22 cm 2 c1n a11 c2 n a21 cmn am 1 a12 a22 am 2 a1l b11 a2 l b21 aml bl 1T a1l b1 T a2 l b2 T aml bl

b12 b22 bl 2

b1n

b2 n bln

则

r1T a11 T r2 a21 rT a m m1

a12 a22 am 2

结论：矩阵 C 的行向量组能由矩阵 B 的行向量组线性表示， A 为这一线性表示的系数矩阵.

口诀：左行右列定理：设A是一个 m×n 矩阵， 对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应 的 m 阶初等矩阵； 对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应 的 n 阶初等矩阵. 结论：若 C = AB ,那么

矩阵 C 的行向量组能由矩阵 B 的行向量组线性表示，A为 这一线性表示的系数矩阵.(A 在左边) 矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示，B为

这一线性表示的系数矩阵.(B 在右边)

A~ B

c

A 经过有限次初等列变换变成 B

口诀：左行右列.

存在有限个初等矩阵P1, P2, …, Pl ,使 AP1 P2 …, Pl = B 存在 m 阶可逆矩阵 P,使得 AP = B把 P 看成 是 线性表示 的 系数矩阵

矩阵 B 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价同理可得

A~ B

r

矩阵 B 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价

向量组 B:b1, b2, …, bl 能由向量组 A:a1, a2, …, am 线性表 示 存在矩阵 K,使得 AK = B 矩阵方程 AX = B 有解 R(A) = R(A, B) (P.84 定理2) 因为 R(B) ≤ R(A, B) R(B) ≤ R(A) (P.85 定理3) 推论：向量组 A:a1, a2, …, am 及 B:b1, b2, …, bl 等价的充分

必要条件是 R(A) = R(B) = R(A, B).证明：向量组 A 和 B 等价 向量组 B 能由向量组 A 线性表示 向量组 A 能由向量组 B 线性表示 从而有R(A) = R(B) = R(A, B) .

R(A) = R(A, B)R(B) = R(A, B)