等腰三角形的分类讨论

初中数学等腰三角形的分类讨论

等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在具体处理问题时往往又会出现错误，因此，在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨论。那么在什么情况下应该分类讨论呢？本文分以下几种情形讲述。

一. 遇角需讨论

例1. 已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为（ ）

A. 30° B. 75° C. 105° D. 30°或75°

练习：等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，求它的各个内角的度数； 已知等腰三角形的一个外角等于1500，求它的各个内角。

说明：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解。

二. 遇边需讨论

例2. 已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________。

说明：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪是底哪是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论。

三. 遇中线需讨论

例3. 若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。

练习：等腰三角形底边为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，求腰长。

四. 遇高需讨论

例4. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求这个等腰三角形的顶角的度数。

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简析：依题意可画出图1和图2两种情形。图1中顶角为45°，图2中顶角为135°。

例5. 为美化环境，计划在某小区内用30m的草皮铺设一块一边长为10m的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。

1）如下图，当AB为底边时，AD=DB=5m，所以AC BC CD2 AD2 61(m)。

2

2）如下图，当AB为腰且ΔABC为锐角三角形时，

AB AC 10m，所以AD AC2 CD2 8(m)，

BD 2m,BC CD2 BD2 2(m)。

3）如下图，当AB为腰且ΔABC为钝角三角形时，

AB BC 10m，BD BC2 CD2 8(m)， 所以AD 18m,AC

CD2 AD2 6(m)。

2

练习：等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为250，求这个三角形的各个内角的度数。

说明：三角形的高是由三角形的形状决定的，对于等腰三角形，当顶角是锐角时，腰上的高在三角形内；当顶角是钝角时，腰上的高在三角形外。

五. 遇中垂线需讨论

例6.在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=____________。

如图1，当交点在腰AC上时，ΔABC是锐角三角形，此时可求得∠A=40°，所以

∠B=∠C=1（180°－40°）=70°。 2

如图2，当交点在腰CA的延长线上时，ΔABC为钝角三有形，此时可求得

∠BAC=140°，所以∠B=∠C=1（180°－140°）=20°

2

故这个等腰三角形的底角为70°或20°。

说明：这里的图2最容易漏掉，求解时一定要认真分析题意，画出所有可能的图形，这样才能正确解题。

七、找点构造等腰三角形需讨论

如图，在直线l上找一点C使得 ABC为等腰三角形，这样的点C有 个。

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2、如图，A，B是4×5网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长是1. 请在图中清晰地标出使以A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形 的所有格点C的位置.

（四）课堂检测

1、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为55°，

求这个等腰三角形的顶角的度数。

2、已知等腰三角形的一个内角为75°，则其顶角为（ ）

A. 30° B. 75° C. 105° D. 30°或75°

3、已知等腰三角形的一个外角等于150°，求它的各个内角的度数。

4、若一个等腰三角形的一个内角为105°，则另两个角的度数为 。

5、已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm，则它的周长为________。

6、已知等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，则它的周长为________。

7、等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么它的底边长为___。

8、 等腰三角形底边为5cm，一腰上的中线把周长分为两部分的差为3cm.求腰长。

9、在ΔABC中，AB=AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°，求∠B的度数。

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