10 场与物质相互作用的量子理论

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第10章 场与物质相互作用的量子理论10.1 量子力学的三种图像 10.2 辐射场与原子的相互作用 10.3 原子发射和吸收的跃迁几率 10.5 激光器的库理论 10. 6 激光的光子统计

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处理激光问题三个层次的理论1.速率方程理论

2.半经典理论3.全量子理论

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三个层次理论之间的关系全量子力学方程 对泵浦和弛豫过程取平均 半经典方程 忽略掉所有的相位关系 速率方程 用来研究阈值条件、输出功率等(连 续运转、脉冲运转、调Q激光器) 用来研究频率牵引和推斥、粒 子数的脉动、相位锁定、超短 脉冲、相干光学瞬态过程等 用来研究激光线宽、强度的起 伏、相干性、光子统计等

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10.1 量子力学的三种图象对同一个物理内容，可以存在多种不同的 数学描述方式，这些不同的描述方式是完 全等价的。量子力学对微观系统状态及其 运动规律存在三种等价的描述方式，称之 为图像(picture),或表象，或绘景，它们是：1.Schrö dinger图像 2.Heisenberg图像 3.相互作用(Interaction)图像

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在量子力学中，可观测量不是力学量算符和 态矢本身，而是力学量的平均值及其概率分 布，它们是随时间演化的。如果把力学量平 均值和概率分布随时间的演化，全都归之为 态矢随时间的演化，而力学量算符不随时间 演化，这种描述方式就是Schrö dinger图像； 反之，全都归之为力学量算符随时间的演化 而态矢保持不变，得到Heisenberg图像；部分 归之为态矢变化，部分归之为算符变化，则 是相互作用图像。5

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10.1.1 Schrö dinger图像 在该图像中，体系的状态矢量|φ(t)>是随时间 t演化的，其演化的方式遵守Schrö dinger方程 i (t ) H (t ) (1.1) t

d 不随时间演化：F dt 0 。 而力学量算符 F

力学量平均值随时间的演化由态矢来承载：

F (t ) F (t ) F (t )6

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令

(t1 ) U (t1 , t0 ) (t0 )

(1.2)

其中算符 U (t1 , t0 ) 把t0时刻的态|φ(t0)>变换成t1 时刻的态|φ(t1)> ,称为时间演化算符，它代 表一个连续变换(t0和t1任意),把态矢随时 间变化而变化用一个变换算符的作用来体现。

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由于概率守恒<φ(t1)|φ(t1)>=<φ(t0)|φ(t0)>,且

(t0 ) (t0 ) (t1 ) (t1 ) (t0 ) U (t1 , t0 )U (t1 , t0 ) (t0 )故

(t , t )U (t , t ) 1 U 1 0 1 0

由于Hamiltonian算符是厄米算符，由后面的 (1.8)式，可以进一步给出

U (t1 , t0 )U (t1 , t0 ) U (t1 , t0 )U (t1 , t0 ) 1 (1.3) (t , t ) U 1 (t , t ) U 1 0 1 0 8

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满足(1.3)式的算符成为幺正算符，它所代表的 的变换称为幺正变换(正交变换可看作是一种 特殊的幺正变换)

时间演化算符还满

足以下性质 (t0 ) U (t0 , t0 ) (t0 ) U (t0 , t0 ) 1 (1.4) (t , t ) (t ) U (t , t ) U 1 (t , t ) (1.5) (t0 ) U 0 1 1 0 1 1 0 (t , t )U (t , t ) (t ) U 0 1 1 0 0 9

(t1 ) U (t1 , t0 ) (t0 )

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由

(t1 ) U (t1 , t0 ) (t0 ) (t2 ) U (t2 , t1 ) (t1 ) U (t2 , t1 )U (t1 , t0 ) (t0 ) (t2 ) U (t2 , t0 ) (t0 )

有

U (t2 , t0 ) U (t2 , t1 )U (t1 , t0 ) (1.6)

下面令t1=t,t0=0,且采用简写 U (t , t ) U (t , 0) U (t )1 0

把

(t ) U (t ) (0)10

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代入Schrö dinger方程，有 i U (t ) (0) HU (t ) (0) t 由于|φ(0)>是任意的，故 i U (t ) t HU (t ) (1.7) 代表能量算符的Hamiltonian算符不显含t,(1.7) 式有以下形式解

U (t1 , t0 ) exp[ i H (t1 t0 ) ] (1.8) U (t ) U (t ,0) exp( i Ht ) 11

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10.1.2 Heisenberg图像

在下面，Schrö dinger图像和Heisenberg图像下 的态矢和力学量算符分别带有上标S和H。在 Heisenberg图像中，力学量平均值随时间的演 化，完全归之于力学量算符随时间的演化，而 态矢保持不变。对于力学量平均值，有 S S (t ) F S S (t ) F (t ) F S (0) U (t ) F SU (t ) S (0) H F H (t ) H12

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其中 H S (0) U 1 (t ) S (t ) (1.9) H (t ) U (t ) F SU (t ) U 1 (t ) F S U (t ) F

分别是Heisenberg图像下的态矢和力学量算符。 不显含时间的Hamiltonian算符，在两种图像下 是相等的，这是因为Hamiltonian算符与时间演 化算符是对易的。

H U (t ) H SU (t ) H S H (1.10) H13

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因此，对Schrö dinger图像下的态矢和力学量 算符，利用演化算符进行幺正变换，可以得 到Heisenberg图像下的态矢和力学量算符。 这种幺正变换不改变态矢内积和力学量平均 值，不改变算符之间的对易关系，因此不改 变物理内容，两种图像等价。

S t 0 假设力学量算符不显含t,即 F利用(1.9)式，有

H dt ( U t ) F SU U F S ( U t ) dF14

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利用(1.7)式，即

t H SU i , U t U H S i U我们有

dF H dt ( U H S F SU U F S H SU ) i UU 1 H H H S H

F SUU H SU U H SUU F SU ] (1 i )[U (1 i )[ F H H H H H F H ] (1 i )[ F H , H ]15

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于是，我们得到在Heisenberg图像下，力学 量算符随时间演化的Heisenberg方程。d H

1 H F (t ) [ F , H ] dt i (1.11)

总之，在Heisenberg图像中，态矢不随时间 演化，而力学量算符是随时间演化的，其演 化的方式遵守Heisenberg方程。