概论与初等模型

数学建模讲义建模概论与初等模型

——数学建模 自选课——数学建模参考书目(不限于 ： 参考书目 不限于): 不限于1.《数学建模与数学实验》, 赵静 但琦主编 高等教育出版社 《数学建模与数学实验》 赵静, 但琦主编, 高等教育出版社, 2003年6月第二版 月第二版; 年 月第二版 2. 《数学模型》, 姜启源编 高等教育出版社 2003; 数学模型》 姜启源编, 高等教育出版社, 3. 《数学建模实验》, 周义仓 赫孝良编 西安交通大学出版社 数学建模实验》 周义仓, 赫孝良编, 西安交通大学出版社, 1999年8月; 年 月 4.《数学建模》, 胡予濮 王金金 刘红卫编 西安电子科技大学 《数学建模》 胡予濮, 王金金, 刘红卫编, 出版社; 出版社 5.《数学实验》, 萧树铁主编 高等教育出版社 1999年7月; 《数学实验》 萧树铁主编, 高等教育出版社, 年 月 考核方式：平时作业 考核方式：平时作业(3~4次)+结课考试 次+ 注记：成绩是仅是选择竞赛队员的依据之一! 注记：成绩是仅是选择竞赛队员的依据之一

一、数学建模概论什么是数学模型玩具、照片 玩具、照片…… ——实物模型 实物模型 ——物理模型 物理模型 ——符号模型 符号模型

我们常见 的模型

风洞中的飞机… 风洞中的飞机 地图、电路图… 地图、电路图

模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行 模型 简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征. 模型

数学模型 (Mathematical Model) 数学建模(Mathematical Modeling)数学模型——对于一个现实对象，为了一个特定目的 ， 对于一个现实对象，为了一个特定目的， 数学模型 对于一个现实对象 根据其内规律，作出必要的简化假设， 根据其内规律， 作出必要的简化假设 ，运用适当的数 学工具，得到的一个数学结构 数学结构。 学工具，得到的一个数学结构。 数学建模——是利用数学方法解决实际问题的一种实 数学建模 是利用数学方法解决实际问题的一种实 践过程. 即通过抽象、 简化、 假设、 践过程 即通过抽象 、 简化 、 假设 、 引进变量等处理 过程后, 将实际问题用数学方式表达， 过程后 将实际问题用数学方式表达 ， 建立起数学模 然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解. 型, 然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解 数学建模指建立数学模型的全过程 指建立数学模型的全过程。 数学建模指建立数学模型的全过程。 ——包括模型建立、求解、分析、检验。 包括模型建立、求解、分析、检验 包括模型建立 观点： 所谓高科技就是一种数学技术” 观点：“所谓高科技就是一种数学技术” 高科技

就是一种数学技术

R+r数学建模三大功能 解释, 数学建模三大功能——解释 判断 预见 三大功能 解释 判断, 1. 解释 解释——孟德尔遗传定律的“3:1” 孟德尔遗传定律的“ 孟德尔遗传定律的 2.判断 判断——放射性废物处理 判断 放射性废物处理美国原子能委 员会提出如下处理 浓缩放射性废物： 封装入密封性很好 的坚固的圆桶中， 沉 入 300ft 的 海 里 ， 而一些工程师提出 质疑？需要判断方 案的合理性。 案的合理性。

Rr (×Rr) RR Rr rR rr

×

f 阻 = 0.08v

3.预见 预见——谷神星的发现 预见 谷神星的发现行星的轨 R = × (4 + 3 × 2 n ) 10 道半径 n = 10 , 0 ,1, 2 , ?, 4 , 51水、金、地、火、木、土 1802年，发现了谷神星与3对应， 年 发现了谷神星与 对应 对应， 之后还发现了海王星、冥王星。 之后还发现了海王星、冥王星。

F浮

v 300 ? 40 ft / s >

F重

你碰到过的数学模型——航行问题 航行问题 你碰到过的数学模型甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行 公里， 甲乙两地相距 公里 小时， 小时， 需30小时，从乙到甲逆水航行需 小时，问船的速 小时 从乙到甲逆水航行需50小时 度是多少？ 度是多少？

用x表示船速，y表示水速，列出方程： 表示船速， 表示水速， 表示船速 表示水速 列出方程： ( x + y ) × 30 = 750 ( x y ) × 50 = 750 求解得到 x=20, y=5, 答：船速每小时20公里 =20 =5, 船速每小时20 20公里

航行问题建立数学模型的基本步骤 作出简化假设 船速、水速为常数 作出简化假设(船速 水速为常数, 船速、 用符号表示有关量(x, 用符号表示有关量

方向一致); 方向一致

y表示船速和水速 ； 表示船速和水速); 表示船速和水速

用物理定律 匀速运动的距离等于速度乘以 用物理定律(匀速运动的距离等于速度乘以

时间)列出数学式子 二元一次方程); 时间 列出数学式子(二元一次方程 ； 列出数学式子 二元一次方程 求解得到数学解答(x=20, 求解得到数学解答(

y=5); );

回答原问题(船速每小时 公里)。 回答原问题(船速每小时20公里 公里)。

录象机计数器的用途 经试验，一盘录像带从头走到尾， 经试验，一盘录像带从头走到尾， 时 间 用 了 183 分 30 秒 ， 计 数 器 读 数 从 问 0000变到 变到6152。在一次使用中录像带已 变到 。在一次使用中录像 题 经转过大半，计数器读数为 经转过大半，计数器读数为4580,问剩 ， 下的一段还能否录下1小时的节目 小时的节目？ 下的一段还能否录下 小时的节目？ 要 不仅仅回答问题, 而且建立计数器读数与 求 录像带转过时间的关系——一个数学模型!日常问题：常见的录音机的转轴转动是匀

速的吗? 日常问题：常见的录音机的转轴转动是匀速的吗

思考

本题中计数器读数是均匀增长的吗？ 本题中计数器读数是均匀增长的吗？

观察或分析: 计数器读数增长越来越慢！ 计数器读数增长越来越慢！ 问题分析 录象机计数器的工作原理0000 右轮盘 计数器 主动轮 录象带 磁头 压轮

左轮盘

录象带运动方向 录象带运动 右轮盘半径增大 计数器读数增长变慢

录象带运动速度是常数

右轮转速不是常数

模型假设 录象带的运动速度是常数 计数器读数

v;

n与右轮转数 m成正比，记 m=kn; 与右轮转数 成正比 成正比， ; w; ;

录象带厚度(含夹在两圈间的空隙 为常数 录象带厚度 含夹在两圈间的空隙)为常数 含夹在两圈间的空隙 空右轮盘半径记作 时间

r;

t=0 时读数 n=0 . 建立时间 与读数 建立时间t与读数 之间的关系 时间 与读数n之间的关系为已知参数) (设v,k ,w ,r 为已知参数)

建模目的

模型建立 建立t与n的函数关系有多种方法 建立 与 的函数关系有多种方法: 的函数关系有多种方法 1. 右轮盘转过第 i 圈的半径为 圈的半径为r+wi, m圈的总长度 圈的总长度 等于录象带在时间t内移动的长度 等于录象带在时间 内移动的长度vt, 所以 内移动的长度m

∑2π (r + wi) = vti =1

(m2

= kn

)

t=

πwk2v

2πrk n + n v

模型建立 2. 考察右轮盘面积的 考察t到 录象带在 变化,等于录象带厚度 变化 等于录象带厚度 3. 考察 到t+dt录象带在 右轮盘缠绕的长度,有 右轮盘缠绕的长度 有 乘以转过的长度,即 乘以转过的长度 即

π [( r + wkn ) r ] = wvt ( r + wkn ) 2π kdn = vdt2 2

t=

2

πwkv

2πrk n + n v2

思考

3种建模方法得到同一结果 1. 3种建模方法得到同一结果

∑

2π (r + wi) = vt i =1n

π [(r + wkn) r ] = wvt2 2

t=