09届高三数学总复习——函数性质X

学习”

09级高三数学总复习讲义——函数性质

一、 知识清单：

1、函数的单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分. 对于具体的函数来说可能有单调区间，也可能没有单调区间，如果函数在区间（0，1）上为减函数，在区间（1，2）

（0，1） （，12）上为减函数，就不能说函数在上为减函数.

2、单调性：研究函数的单调性应结合函数单调区间，单调区间应是定义域的子集。

判断函数单调性的方法： ① 定义法（作差比较和作商比较）； ② 图象法； ③ 单调性的运算性质（实质上是不等式性质）； ④ 复合函数单调性判断法则; ⑤ 导数法（适用于多项式函数）

注：函数单调性是函数性质中最活跃的性质，它的运用主要体现在不等式方面，如比较大小，解抽象函数不等式等。 3.偶函数

⑴偶函数：f( x) f(x).设（a,b）为偶函数上一点，则（ a,b）也是图象上一点. ⑵偶函数的判定：两个条件同时满足

① 定义域一定要关于y轴对称，例如：y x2 1在[1, 1)上不是偶函数. ② 满足f( x) f(x)，或f( x) f(x) 0，若f(x) 0时，4. 奇函数

⑴奇函数：f( x) f(x).设（a,b）为奇函数上一点，则（ a, b）也是图象上一点.

⑵奇函数的判定：两个条件同时满足①定义域一定要关于原点对称，例如：y x3在[1, 1)上不是奇函数.②满足f( x) f(x)，或f( x) f(x) 0，若f(x) 0时，

f(x)

1. f( x)

f(x)

1. f( x)

注:函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件，在利用定义判断时，应在化简解析式后进行，同时灵活运用定义域的变形，如f( x) f(x) 0，f( x) 1（f(x)≠0）

f(x)

5．反函数

⑴定义：只有满足x y，函数y f(x)才有反函数. 例如：y x2无反函数.函数y f(x)唯一的反函数记为x

f

1

(y)，习惯上记为y f

1

(x).

⑵.求反函数的步骤: ①将y

f(x)看成关于x的方程,解出x f 1(y)，若有两解，要注意解的选择；

②将x,y互换，得y f 1(x)；

③写出反函数的定义域（即y f(x)的值域）。

⑶.在同一坐标系，函数y f(x)与它的反函数y f 1(x)的图象关于y x对称.

学习”

[注]：一般地，f 1(x 3) f(x 3)的反函数. f 1(x 3)是先f(x)的反函数，在左移三个单位.

f(x 3)是先左移三个单位，在f(x)的反函数.

6函数性质之间的关系 .⑴单调函数必有反函数，但并非反函数存在时一定是单调的.因此，所有偶函数不存在反函数. ⑵如果一个函数有反函数且为奇函数，那么它的反函数也为奇函数.

⑶设函数y = f（x）定义域，值域分别为X、Y. 如果y = f（x）在X上是增（减）函数，那么反函数y

f

1

(x)在Y上一定是增（减）函数，即互为反函数的两个函数增减性相同.

⑷一般地，如果函数y f(x)有反函数，且f(a) b，那么f 1(b) a. 这就是说点（a,b）在函数

y f(x)图象上，那么点（b,a）在函数y f

1

(x)的图象上.

注：

1.函数f(x)的反函数f-1(x)的性质与f(x)性质紧密相连，如定义域、值域互换，具有相同的单调性等，把反函数f-1(x)的问题化归为函数f(x)的问题是处理反函数问题的重要思想。 2.设函数f(x)定义域为A，值域为C，则① f-1[f(x)]=x,(x A)②f[f-1(x)]=x,(x C) 课前练习

1.讨论函数f(x) x2的单调性。 2．函数y 2

1x 1

在定义域上的单调性为( )

（A）在 ,1 上是增函数，在 1, 上是增函数;（B）减函数; （C）在 ,1 上是减函数，在 1, 上是减函数;（D）增函数

3．已知函数f (x), g (x)在 R上是增函数，求证：f [g (x)]在 R上也是增函数。 4．判断下列函数的奇偶性：

2 x x x(x 0)22

①f(x) (x 1),②f(x) x 1 x,③f(x) 2

1 x x x(x 0)

5．求函数 y 1 x2 （ 1≤ x < 0）的反函数 6．已知f(x) 的值。

7．若函数y f(x)的图象经过(0, 1)，那么y f(x 4)的反函数图象经过点( ) (A)(4, 1)

(B)( 1, 4) (C)( 4, 1)

1

2x 3

，函数y=g(x)图象与y f 1(x 1)的图象关于直线y= x对称，求g(11)x 1

(D)(1, 4)

8．设f x 4x 2x 1，则f 0 ________.

x

n(n R)互为反函数的充要条件是___________. 2

9．函数y mx 1(x R),与y

学习”

1

10．若点(2,)既在函数y 2ax b的图象上，又在它的反函数的图象上，则a=__，b4

典型例题

EG1．已知函数f(x) loga(x 1)，g(x) loga(1 x)(a 0，且a 1) （1） 求函数f(x) g(x)定义域

（2） 判断函数f(x) g(x)的奇偶性，并说明理由.

变式1：已知f(x) ax2 bx 3a b是偶函数，定义域为[a 1,2a].则a b

9 x2

变式2：函数y 的图象关于 （ ）

|x 4| |x 3|A．x轴对称

B．y轴对称 C．原点对称 D．直线x y 0对称

变式3

：若函数f(x) loga(x是奇函数，则a 变式4：函数y x a的图象关于直线x 3对称.则a 变式5：函数y x 2sinx在(0, )上的单调递增区间为

EG2、已知函数f(x)是偶函数，而且在(0, )上是减函数，判断f(x)在( ,0)上是增函数还是减函数，并证明你的判断.

变式1：下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是

1

A. y x3,x R B. y sinx,x R C. y x,x R D. y ()x,x R

2

变式2：函数y f(x)是R上的偶函数，且在( ,0]上是增函数，若f(a) f(2),则实数a的取值范围是 （ ）

A.a 2 B.a 2 C. 2 a 2 D.a 2或a 2

变式3：已知定义域为D的函数f(x)，对任意x D，存在正数K，都有f(x) K成立，则称函数f(x)是D上的“有界函数”。已知下列函数：①f(x)

2sinx；②f(x)；③

f(x) 1 2x；

④f(x)

x

，其中是“有界函数”的是______（写出所有满足要求的函数的符号）． x2 1

设计意图：考察函数奇偶性与单调性的关系

x(x 4),x 0

EG3、已知函数f(x) ，求f(1)，f( 3)，(a 1)的值

x(x 4),x 0

学习”

ex,x 0.1

变式1：设g(x) 则g(g()) __________

2 lnx,x 0.

(3a 1)x 4a,x 1

变式2：已知f(x) 是( , )上的减函数，那么a的取值范围是

logax,x 1

111

A.(0,1) B.(0,) C.[,)

373

1

D.[,1)

7

2

x 1 (x 1)

变式3：设函数f（x）= 则使得f（x）≥1的自变量x的取值范围为

x 1 4 x 1

A.（－∞，－2］∪［0，10］ C.（－∞，－2］∪［1，10］

B.（－∞，－2］∪［0，1］ D.［－2，0］∪［1，10］

EG4、试着举几个满足“对定义域内任意实数a，b，都有f(a b) f(a) f(b)”的函数例子. 变式1：设函数f（x）的定义域是N*，且f(x y) f(x) f(y) xy，f(1) 1，则f（25）= _______________.

1

变式2：设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x 1对称，对任意x1,x2 [0,]，

2

都有f(x1 x2) f(x1)f(x2)

11

（1）设f(1) 2，求f(),f()

24

（2）证明f(x)是周期函数.

变式3：设函数y f(x)定义在R上，对任意实数m、n，恒有f(m n) f(m)f(n)且当

x 0,0 f(x) 1

（1）求证：f（0）= …… 此处隐藏：7905字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……