2014～2015学年度第二学期期中考试高 二数学(理)试卷附答案

高中数学试卷

2014～2015学年度第二学期期中考试高 二数学（理）试卷

(考试时间：100分钟 总分：100分)

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）

1．已知复数z 满足：i zi +=2（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ）

A ．i 2-

B ．i 2

C ．2

D ．2-

2．图书馆的书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，现从中任取一本书，共有（ ）种不同的取法。

A.120

B.16

C.64

D.39

3．已知曲线23ln 14

x y x =-+的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．12

4．由直线12y =,2y =,曲线1y x

=及y 轴所围成的封闭图形的面积是（ ） A ．2ln2 B ．2ln 21- C ．1ln 22 D ．54

5．以下说法正确的是（ ）

A.在用综合法证明的过程中，每一个分步结论都是结论成立的必要条件

B.在用综合法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的必要条件

C.在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的充分条件

D.在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是结论成立的必要条件

6．设函数()ln =f x x x ，则()f x 的极小值点为（ ）

A.=x e

B.ln 2=x

C.2=x e

D.1=x e

7．已知1212?=，221334??=?，32135456???=??,．．．，以此类推，第5个等式为（ ）

A ．4213575678????=???

B ．521357956789?????=????

C ．4213579678910?????=????

D ．5213579678910?????=????

8．在复平面内，复数34i -，()2i i +对应的点分别为A ，B ，则线段AB 的中点C 对应的复数为（ ）

A ．22i -+

B ．22i -

C ．1i -+

D ．1i -

9．已知函数()()21cos ,4f x x x f x '=+是函数()f x 的导函数，则()f x '的图象大致是（ ）

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10．设函数()y f x =在区间(),a b 上的导函数为()f x '，()f x '在区间(),a b 上的导函数为()f x ''，若区间(),a b 上()0f x ''>，则称函数()f x 在区间(),a b 上为“凹函数”，已

知()54112012

f x x mx =

-22x -在()1,3上为“凹函数”，则实数m 的取值范围是（ ） A ．31(,)9-∞ B ．31[,5]9 C ．(,3]-∞ D ．(),5-∞ 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.）

11．函数3()2f x x ax =+-在(1,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是

12．设集合{}A b a A ∈=,,5,4,3,2,1,则方程12

2=+b

y a x 表示焦点位于y 轴上的椭圆有 个.

13．设sin ,0,2()1,,22x x f x x ππ???∈??????=????∈??????

，则20()f x dx ?为 。 14．已知复数()0,,≠∈+=x R y x yi x z 且32=-z ，则x

y 的范围为 ． 15．在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有222b a c +=．设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥LMN O -，如果用321,,S S S 表示三个侧面面积，4S 表示截面面积，那么类比得到的结论是 ．

16．对定义在区间D 上的函数)(x f 和)(x g ，如果对任意D x ∈，都有1)()(≤-x g x f 成立，那么称函数)(x f 在区间D 上可被)(x g 替代，D 称为“替代区间”．给出以下命题：

①1)(2+=x x f 在区间),(+∞-∞上可被21)(2+=x x g 替代；

②x x f =)(可被x x g 411)(-

=替代的一个“替代区间”为]2

3,41[； ③x x f ln )(=在区间],1[e 可被b x x g -=)(替代，则22≤≤-b e ； ④)(sin )(),)(lg()(212D x x x g D x x ax x f ∈=∈+=，则存在实数)0(≠a a ，使得)(x f 在区间

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21D D ? 上被)(x g 替代；

其中真命题的有

三、解答题（本大题共4小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17.（本小题共8分）

已知函数2,2)(23=++=x ax x x f 是)(x f 的一个极值点，求：

（1）实数a 的值；

（2）)(x f 在区间[]3,1-上的最大值和最小值。

18. （本小题共8分）

若a 、b 、c 均为实数，且222π

+-=y x a ，322π+-=Z y b ，622π

+-=x Z c 求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0。

19. (本小题共10分)

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已知函数 ()1()x f x e ax a R =--∈．

（1）求函数)(x f 的单调区间；

（2）若函数21

()()2F x f x x =-在[]1,2上有且仅有一个零点，求a

的取值范围；

20. (本小题共10分)

已知数列{}n a 的各项均为正整数，对于任意*n N ∈，都有1111

11

22111

n n n n a a a a n n +++

+<<+

-+ 成立，且24a =．

（1）求1a ，3a 的值；

（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并给出证明．

高二（理）试卷答案及评分标准

一、选择题