《数理统计》(浙大四版)-第9章 - 方差分析及回归分析.

§11.1 单因素方差分析§11.2 双因素方差分析 §11.3 一元线性回归分析

§9.1 单因素方差分析 工业生产中产品质量的影响因素：原材料、设备、技术及员 工素质等； 工作中影响个人收入的影响因素：除学历、专业、工作时间、 性别等方面外，还有个人能力、经历及机遇等偶然因素. 在这众多因素中，每一个因素的改变都可能影响最终的结 果，各因素的影响有大有小。故在实际问题中，就有必要找出 对事件最终结果有显著影响的那些因素. 如何分析这些诸多因素中哪些因素对结果会产生显著影响？ ——这是方差分析的主要任务！

§9.1 单因素方差分析一、单因素方差分析问题的提法 基本概念：

试验指标：在试验中要考察的指标，如产品的质量等。 因素：影响试验指标的条件。包括可控因素和不可控因素。 单因素试验：在一项试验中只有一个因素在改变的试验。 多因素试验：在一项试验中多于一个因素在改变的试验。 水平：因素所处的状态。

随机误差：同一水平下，样本各观察值之间的差异，称为随 机误差。这种差异可以看成是随机因素的影响。 系统误差：不同水平下，各观察值之间的差异。这种差异可 能是由于行业本身所造成的，称为系统误差。

§9.1 单因素方差分析

试验指标：薄板的厚度因素：机器 单因素试验 水平：三台不同的机器即为三个不同的水平 试验目的：考察机器这一因素对薄板的厚度有无显著的差异

§9.1 单因素方差分析

试验指标：电路响应时间因素：电路类型 单因素试验 水平：四种不同的电路即为四个不同的水平 试验目的：考察电路类型这一因素对响应时间有无显著影响

§9.1 单因素方差分析

试验指标：射程 因素：燃料(A)、推进器(B) 双因素试验 水平：因素A有4个水平，因素B有3个水平 试验目的：考察推进器和燃料这两个因素对射程是否有显著影响

§9.1 单因素方差分析以例1讨论单因素方差分析的方法： 在因素的每个水平下进行独立试验，其结果就是一个样本, 表中数据可看成来自三个不同总体的样本值，

X 11

X12 X 22X 32

X 13

X 21X 31

X 23X 33

X 41X 51

X 42X 52

X 43X 53

均值 1

均值 2

均值 3

本题需要检验假设： H 0 : 1 2 3 ,H1 : 1 , 2 , 3不全相等.

§9.1 单因素方差分析

§9.1 单因素方差分析

假设：

随机误差 X ij ~ N ( j , 2 ), j , 2未知， 不同水平A j下的样本之间相互独立.

由假设，有 X ij j ~ N (0, 2 ), 记 ij X ij j , 则有 单因素试验方差 分析的数学模型

§9.1 单因素方差分析方差分析的任务：

为便于讨论，记

总平均

(

) )

引入记号A j 的效应

(

(1.1)

因为

s 1 s 1 1 , nj j j nj jn j n j 1 n j 1 n

§9.1 单因素方差分析二、平方和的分解 记 X j 1 njnj

Xi 1

ij

水平Ai下的样本均值；

1 s ni X X ij n i 1 j 1(总变差)

总的样本均值.s nj 2

总偏差平方和： ST ( X ij X )j 1 i 1 s nj

反映了全部试验 数据之间的差异2

组内偏差平方和：e ( X ij X j ) S(误差平方和)

S 组间偏差平方和：A n j ( X j X )(效应平方和)j 1

j 1 i 1 s

反映了水平Aj 内由随 机误差而引起的波动由水平Aj的效应的差 异以及随机误差引起

2

总离差平方和分解式： ST

Se S A

…………………(1.5)

§9.1 单因素方差分析s nj 三、SE, SA的统计特性 2

S E ( X ij X j )1、SjE的统计特性 1 i 1

各项间相互独立

§9.1 单因素方差分析2、SA的统计特性

四、假设检验问题的拒绝域

§9.1 单因素方差分析